BZOJ 2839: 集合计数 Description 一个有\(N\)个元素的集合有\(2^N\)个不同子集(包含空集),现在要在这\(2^N\)个集合中取出若干集合(至少一个),使得 它们的交集的元素个数为\(K\),求取法的方案数,答案模\(1000000007\). Input 一行两个整数\(N,K\) Output 一行为答案. HINK 对于\(100\%\)的数据,\(1≤N≤1000000,0≤K≤N\): 设交集拥有元素集合\(S\)的取法方案数为\(f(S)\),有 \[…

2839: 集合计数 题意:n个元素的集合,选出若干子集使得交集大小为k,求方案数 先选出k个\(\binom{n}{k}\),剩下选出一些集合交集为空集 考虑容斥 \[ 交集为\emptyset = 任意选的方案数-交集\ge 1 的方案数+交集\ge 2的方案数-... \] 交集\(\ge i\)就是说先选出i个元素在交集里,剩下的元素的集合任选 那么就是 \[ \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}(2^{2^{n-i}}-1) \] 组合数直接推阶乘和逆元 后面的\(2^{…

2839: 集合计数 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 495  Solved: 271[Submit][Status][Discuss] Description 一个有N个元素的集合有2^N个不同子集(包含空集),现在要在这2^N个集合中取出若干集合(至少一个),使得 它们的交集的元素个数为K,求取法的方案数,答案模1000000007.(是质数喔~) Input 一行两个整数N,K Output 一行为答案. Sample Inp…

LINK:集合计数 容斥简单题 却引出我对广义容斥的深思. 一直以来我都不理解广义容斥是为什么 在什么情况下使用. 给一张图: 这张图想要表达的意思就是这道题目的意思 而求的东西也和题目一致. 特点:求出某个集合恰好为k的个数. 转换:求出集合>=k的个数或者<=k的个数 从而使用广义容斥容斥出来答案. 关于>=k个数 如上图可见 又很多重复的地方 而广义容斥也是在这么多重复的地方使用的 而并非严格>=k的个数. 换个说法 >=k的方案数 可能有一些存在重复 但是其特点是&g…

题链: http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2839 题解: 容斥原理 真的是神题!!! 定义 f[k] 表示交集大小至少为 k时的方案数怎么求出这个数组呢?考虑先确定 k个元素(有C(N,k)种方法),那么还剩下 N-k个元素,这剩下的 N-k个元素可以得到 2^(N-k)个集合,然后每个集合可以选或不选,(但不能一个都不选),可以得到 2^(2^(N-k))-1 种选法,每种选法里面的每个集合都加上那以及固定的 k个元素,可以发现这…

Description 题库链接 有 \(2^n\) 个集合,每个集合只包含 \([1,n]\) ,且这些集合两两不同.问有多少种选择方法(至少选一个),使得这些集合交集大小为 \(k\) . \(0\leq k\leq n\leq 1000000\) Solution 设 \(f(n)\) 为交集元素大于 \(k\) 的方案数,设 \(g(n)\) 为交集元素等于 \(k\) 的方案数. 容易得到 \[f(k)=\sum_{i=k}^n{i\choose k}g(i)\Rightarrow g…

因为要在n个里面选k个,所以我们先枚举选的是哪$k$个,方案数为$C_{n}^k$ 确定选哪k个之后就需要算出集合交集正为好这$k$个的方案数,考虑用容斥原理. 我们还剩下$n-k$个元素,交集至少为$k$的方案数为$2^{2^{n-k}}$. 相当于在仅有剩下$n-k$个元素的集合里随便选,最后再往每个集合里塞进这$k$个元素. 然后就是很简单的容斥了. 减去交集至少为k加上其他一个元素的方案数,加上交集至少为k加上其他两个元素的方案数... $$ans=C_{n}^k\times(2^{2^…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2839 设 \( g(i) \) 表示至少有 i 个, \( f(i) \) 表示恰好有 i 个,则 \( g(i)=C_{n}^{i}*(2^{2^{n-i}}-1) \) \( g(i)=\sum\limits_{j=i}^{n}C_{j}^{i}f(j) \) \( f(i)=\sum\limits_{j=i}^{n}(-1)^{j-i}C_{j}^{i}g(j) \) 以为把 g 写…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2839 设 \( f(i) \) 为至少 \( i \) 个选择,则 \( f(i) = C_{n}^{i} * (2^{2^{n-i}} - 1) \),因为其他可选可不选: 设 \( g(i) \) 为恰好 \( i \) 个选择,则 \( f(i) = \sum\limits_{j=i}^{n} g(j) * C_{j}^{i} \) 感觉形式不是一般那种,所以想换一下,设 \( f(…

首先,考虑容斥,我们所要的答案是并集至少有\( k \)个数的方案数减去并集至少有\( k+1 \)个数的方案数加上并集至少有\( k \)个数的方案数-- 在n个数中选i个的方案数是\( C_{n}^{i} \),n种集合的组合方案数为\( 2^n \) 并集至少有i个元素的方案数即为选\( i \)个元素的方案数\( C_{n}^{i} \),乘上剩下\( n-i \)个元素任意组合的方案数\( 2^{2^{n-i}-1} \) 然后乘上容斥系数\( (-1)^{i-k} \),再乘上在并集…