贝祖定理:即如果a.b是整数,那么一定存在整数x.y使得ax+by=gcd(a,b).换句话说,如果ax+by=m有解,那么m一定是gcd(a,b)的若干倍.(可以来判断一个这样的式子有没有解)有一个直接的应用就是 如果ax+by=1有解,那么gcd(a,b)=1: int gcd(int a,int b){return b==0?a:gcd(b,a%b);} 然而这并不能告诉我们x,y解是多少. 扩欧 首先我们观察上面的式子发现一定有一个解a*1+b*0=gcd(a,b).(b%a=0) 但是…

前言 扩展欧几里得算法是一个很好的解决同余问题的算法,非常实用. 欧几里得算法 简介 欧几里得算法,又称辗转相除法. 主要用途 求最大公因数\(gcd\). 公式 \(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\) 公式证明 \(a\)可以表示成\(a=kb+a\%b\)(\(k\)为自然数). 假设\(g\)是\(a,b\)的一个公约数,则有\(g|a, g|b\). \(\because a\%b=a-kb\), \(\therefore g|(a\%b),\therefore g\)是\(b…

关于扩展欧几里得从寒假时就很迷,抄题解过了同余方程,但是原理并不理解. 今天终于把坑填上了qwq. 由于本人太菜,不会用markdown,所以这篇总结是手写的(什么).(字丑不要嫌弃嘛) ********Update9.28********** 刚刚我们求出的是一组特值,那么如何求通值? 约定:设x0,y0为一组特解,t为任意整数,设a>b(不行再交换) 那么有 x=x0+b/gcd*t y=y0-a/gcd*t ******************************* 奉上三道例题: E…

题目可以转化成求关于t的同余方程的最小非负数解: x+m*t≡y+n*t (mod L) 该方程又可以转化成: k*L+(n-m)*t=x-y 利用扩展欧几里得可以解决这个问题: eg:对于方程ax+by=c 设tm=gcd(a,b) 若c%tm!=0,则该方程无整数解. 否则,列出方程: a*x0+b*y0=tm 易用extend_gcd求出x0和y0 然后最终的解就是x=x0*(c/tm),y=y0*(c/tm) 注意:若是要求最小非负整数解? 例如求y的最小非负整数解, 令r=a/tm,则…

exgcd入门以及同余基础 gcd,欧几里得的智慧结晶,信息竞赛的重要算法,数论的...(编不下去了 讲exgcd之前,我们先普及一下同余的性质: 若,那么 若,,且p1,p2互质, 有了这三个式子,就不用怕在计算时溢出了. 下面我会用与分别表示a与b的最大公约数与最小公倍数. 首先会来学扩欧的同学肯定都会欧几里得算法(即辗转相除法)了吧 而通过观察发现:,先除后乘防溢出. 所以与的代码如下: inline int gcd(int a,int b) {)?a:gcd(b,a%b);} inlin…

算法思想 我们想求得一组\(x,y\)使得 \(ax+by = \gcd(a,b)\) 根据 \(\gcd(a,b) = \gcd(b,a\bmod b)\) 如果我们现在有\(x',y'\) 使得 \(bx'+(a\bmod b)y' = \gcd(b,a\bmod b)\) 那么 \(ax+by = bx'+( a-\lfloor\frac a b\rfloor b)y'\) 移项之后 \(ax+by = ay'+b(x'-\lfloor\frac a b\rfloor y')\) 我们可以…

Elementary Number Theory - Extended Euclid Algorithm Time Limit : 1 sec, Memory Limit : 65536 KB Japanese version is here Extended Euclid Algorithm Given positive integers a and b, find the integer solution (x, y) to ax+by=gcd(a,b), where gcd(a,b) is…

定理:对于任意整数a,b存在一堆整数x,y,满足ax+by=gcd(a,b) int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){ ){x=,y=;return a;} int d=exgcd(b,a%b,x,y); int z=x;x=y;y=z-y*(a/b); return d; } 当d可以整除c时,一般方程ax+by=c的一组特解求法: 1.求ax+by=d的特解x0,y0 2.ax+by=c的特解为(c/d)x0,(c/d)y0 上述方程的通解:(c/d)…

求解形如ax+by == n (a,b已知)的方程的非负整数解个数时,需要用到扩展欧几里得定理,先求出最小的x的值,然后通过处理剩下的区间长度即可得到答案. 放出模板: ll gcd(ll a, ll b) { return b ? gcd(b, a%b) : a; } ll lcm(ll a, ll b) { return a / gcd(a,b) * b; } ll extend_gcd(ll a,ll b,ll&x,ll&y) { if(!b) { x = ; y = ; retur…

给出2个数M和N(M < N),且M与N互质,找出一个数K满足0 < K < N且K * M % N = 1,如果有多个满足条件的,输出最小的.   输入 输入2个数M, N中间用空格分隔(1 <= M < N <= 10^9) 输出 输出一个数K,满足0 < K < N且K * M % N = 1,如果有多个满足条件的,输出最小的. 输入样例 2 3 输出样例 2解:拓展欧几里得解方程,求逆元. #include <stdio.h> void…