\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定 \(n,s,a_0,a_1,a_2,a_3\),求: \[\sum_{i=0}^n\binom{n}is^ia_{i\bmod4}\bmod998244353 \]   多测,数据组数 \(\le10^5\),\(n\le10^{18}\),其余输入 \(\le10^8\). \(\mathcal{Solution}\)   单位根反演板题.记一个函数 \(f\) 有: \[\begin{aligned} f(x)&=…

[LOJ#6485]LJJ 学二项式定理(单位根反演) 题面 LOJ 题解 显然对于\(a0,a1,a2,a3\)分开算答案. 这里以\(a0\)为例 \[\begin{aligned} Ans&=\frac{1}{4}a_0\sum_{i=0}^n [4|i]{n\choose i}s^i\\ &=\frac{1}{4}a_0\sum_{i=0}^n{n\choose i}s^i\sum_{j=0}^3 (\omega_4^{j})^i\\ &=\frac{1}{4}a_0\su…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   维护序列 \(\lang a_n\rang\),支持 \(q\) 次如下操作: 区间加法: 区间下取整除法: 区间求最小值: 区间求和. \(n,q\le10^5\),值域大约是 \(V=2\times10^9\). \(\mathcal{Solution}\)   可以推测是势能线段树.对于线段树上的区间 \([l,r]\),想要将它 \(\div d\),维护 \(u=\min_{i=l}^r\{a_i\}\) 以及 \…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   \(T\) 组询问,每次给出 \(n,a,b,c,k_1,k_2\),求 \[\sum_{x=0}^nx^{k_1}\left\lfloor\frac{ax+b}{c}\right\rfloor^{k_2}\bmod(10^9+7) \]   \(T=1000\),\(n,a,b,c\le10^9\),\(0\le k_1+k_2\le 10\). \(\mathcal{Solution}\)   类欧模板题的集大成者.  …

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定字符串 \(s\),处理 \(q\) 次操作: 在 \(s\) 前添加字符串: 在 \(s\) 后添加字符串: 求 \(s\) 的所有非空回文子串数目.   任意时刻 \(|s|\le4\times10^5\),\(q\le10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   双向 PAM 模板题.   思考一个正常的 PAM 所维护的--一个 DFA,每个结点的连边代表左右各加同一个字符:还有一个 fail…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定 \(n\) 次多项式 \(F(x)\),在模 \(998244353\) 意义下求 \[G(x)\equiv\left\{\left[1+\ln\left(2+F(x)-F(0)-\exp \int \frac{1}{\sqrt{F(t)}}\text dt\right)\right]^k\right\}'\pmod{x^n} \] 其中保证 \(F(0)\) 是模数的二次剩余,开根取模意义下较小常数项值.   \(n…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   积性函数 \(f\) 满足 \(f(p^c)=p\oplus c~(p\in\mathbb P,c\in\mathbb N_+)\),求 \(\sum_{i=1}^n f(i)\bmod(10^9+7)\). \(\mathcal{Solution}\)   首先,考虑 \(f\) 的素数点值: \[f(p)=\begin{cases} 3,&p=2\\ p-1,&\text{otherwise} \end{cases…

题目描述 原题来自:CODECHEF September Challenge 2015 REBXOR 1​​≤r​1​​<l​2​​≤r​2​​≤N,x⨁yx\bigoplus yx⨁y 表示 xxx 和 yyy 的按位异或. 输入格式 输出格式 输出一行包含给定表达式可能的最大值. 样例 数据范围与提示 5​​,0≤A​i​​≤10​9​​. 题解 首先记录异或前缀和$s[i]=a[1]⊕a[2]⊕a[3] ...⊕a[i]$. 设$l[i]$为以$i$结尾的区间中,异或值的最大值. 因为异或…

#10056. 「一本通 2.3 练习 5」The XOR-longest Path 题目描述 原题来自:POJ 3764 给定一棵 nnn 个点的带权树,求树上最长的异或和路径. 输入格式 第一行一个整数 nnn,接下来 n−1n-1n−1 行每行三个整数 u,v,wu,v,wu,v,w,表示 u,vu,vu,v 之间有一条长度为 www 的边. 输出格式 输出一行一个整数,表示答案. 样例 样例输入 4 1 2 3 2 3 4 2 4 6 样例输出 7 样例解释 最长的异或和路径是 1→2→…

LJJ 学二项式定理 题意 \(T\)组数据,每组给定\(n,s,a_0,a_1,a_2,a_3\),求 \[ \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}s^ia_{i\bmod 4} \] 对\(998244353\)取模 范围 \(1\le T\le 10^5,1\le n\le 10^{18},1\le s,a_0,a_1,a_2,a_3\le 10^8\) 单位根反演有个套路 \[ [k\equiv l \ (\text{ mod } n)\ ]=\frac{1}{n}\sum_…

$ \color{#0066ff}{ 题目描述 }$ LJJ 学完了二项式定理,发现这太简单了,于是他将二项式定理等号右边的式子修改了一下,代入了一定的值,并算出了答案. 但人口算毕竟会失误,他请来了你,让你求出这个答案来验证一下. 一共有 \(T\) 组数据,每组数据如下: 输入以下变量的值:\(n, s , a_0 , a_1 , a_2 , a_3\),求以下式子的值: \(\begin{aligned}\Large \left[ \sum_{i=0}^n \left( {n\choose…

QwQ LOJ #6485 题意 求题面中那个算式 题解 墙上暴利 设$ f(x)=(sx+1)^n$ 假设求出了生成函数$ f$的各项系数显然可以算出答案 因为模$ 4$的缘故只要对于每个余数算出次数模4为该余数的系数和即可 求系数和强上单位根反演即可 求模4余1相当于求模4余0之后平移一位即乘上$ x^{-1}$ 好像讲的非常不清楚啊... 代码 #include<ctime> #include<cmath> #include<cstdio> #include<…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定整数序列 \(\{a_n\}\),对于整数序列 \(\{b_n\}\),\(b_i\) 在 \([1,a_i]\) 中等概率随机.求 \(\{b_n\}\) 中 LIS(最长上升子序列)的期望长度.对 \(10^9+7\) 取模.   \(n\le6\),\(a_i\le10^9\). \(\mathcal{Solution}\)   欺负这个 \(n\) 小得可爱,直接 \(\mathcal O(n!)\) 枚举 \(…

题目:https://loj.ac/problem/6485 先把 \( a_{i mod 4} \) 处理掉,其实就是 \( \sum\limits_{i=0}^{3} a_{i} \sum\limits_{j=0}^{n} C_{n}^{j} * s^{j} * [4|(j-i)] \) 然后把 \( [4|(j-i)] \) 单位根反演,得到 \( \sum\limits_{i=0}^{3} a_{i} \sum\limits_{j=0}^{n} C_{n}^{j} * s^{j} * \…

题目:https://loj.ac/problem/6485 \( \sum\limits_{k=0}^{3}\sum\limits_{i=0}^{n}C_{n}^{i}s^{i}a_{k}[4|(i-k)] \) 然后就是套路即可. #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; ll rdn() { ll ret=;;ch…

也许更好的阅读体验 \(\mathcal{Description}\) 原题链接 \(T\)组询问,每次给\(n,s,a_0,a_1,a_2,a_3\)求 \(\begin{aligned}\left(\sum ^{n}_{i=0}\begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix}\cdot s^{i}\cdot a_{i\ mod\ 4}\right)mod\ 998244353\end{aligned}\) \(\mathcal{Solution}\) 这道题要用单位根…

题面 传送门 题解 首先你要知道一个叫做单位根反演的东西 \[{1\over k}\sum_{i=0}^{k-1}\omega^{in}_k=[k|n]\] 直接用等比数列求和就可以证明了 而且在模\(998244353\)意义下的\(\omega_k^1=g^{P-1\over k}\) 据说这玩意儿在\(NTT\)的证明里有?然而我那时候光顾着背板子了 所以这个单位根反演简称小单的玩意儿能干嘛呢 然后我们惊奇的发现小单可以让我们快速求一个数列里某个数倍数项的和 \[ \begin{align…

新学的黑科技,感觉好nb ~ #include <bits/stdc++.h> #define ll long long #define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) using namespace std; const ll mod=998244353; inline ll qpow(ll x,ll y) { ll tmp=1; x=x%mod; y=(y%(mod-1)+mod-1)%(mod-1); for(…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   呐--不想概括题意,自己去读叭~ \(\mathcal{Solution}\)   如果仅有 1. 3. 操作,能不能做?   --简单整体二分.   如果仅有 1. 2. 操作,能不能实时维护每个位置还剩下多少人?累计走了多少人?   --吉司机线段树.   所以,离线下来,把上两个重工业揉在一起就能粗暴地过掉这道题√ 复杂度 \(\mathcal O(n\log^2n)\)(\(n,m,q\) 同阶).   有 \(\m…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定一棵含 \(n\) 个结点的树.称点集 \(S\) 到结点 \(u\) 的会合距离为 \(\sum_{v\in S}\operatorname{dist}(u,v)\).对于 \(|S|=1,2,\dots,n\),求使得满足 \(S\) 一定且 \(S\) 到 \(u\) 的会合距离最小时,可能选取的 \(u\) 的个数的最大值.   \(n\le2\times10^5\). \(\mathcal{Solution}\…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   平面上有 \(n\) 个互不重合的点 \((x_{1..n},y_{1..n})\),求其两两曼哈顿距离的前 \(m\) 小值.   \(n,m\le2.5\times10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   会做,但不完全会做.   数前 \(k\) 小的一种技术是:将解大致分类,在每类中维护最优解,一起放入堆中迭代.   应用到本题,按 \((x,y)\) 的二维偏序排序后,对于每个点,尝试维护其…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定一棵含 \(n\) 个结点的树,双向边权不相同.\(q\) 次询问,每次询问在树上标记 \(e\) 个点,标记的价值为所有趋向于某个标记点的有向边权值之和,求价值的最大值.   \(q\le n\le2\times10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   \(e=1\text{ or }2\) 的时候可以直接换根求解.需要强调的是,当确定一个被标记的根时,其余标记点的贡献为根到这个标记点的有向路径…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   原题意足够简洁啦.( \(\mathcal{Solution}\)   乍一看比较棘手,但可以从座位的安排方式入手,有结论:   一个班的学生按身高排序后,相邻的两两坐在一桌.   证明略,比较显.   第二个结论:   设按上述方案分桌,从左至右将每桌编号为 \(1\sim n\).则每个班级的第 \(i\) 号桌都坐在同一个位子.   考虑交换两桌不能使答案变优即证.   考试的时候结论都看出来了结果写假了你敢信 qwq…

题目描述 原题来自:CEOI 1999 给定一张无向图,求图中一个至少包含 333 个点的环,环上的节点不重复,并且环上的边的长度之和最小.该问题称为无向图的最小环问题.在本题中,你需要输出最小环的方案,若最小环不唯一,输出任意一个均可.若无解,输出 No solution..图的节点数不超过 100100100. 输入格式 第一行两个正整数 n,mn,mn,m 表示点数和边数.接下来 mmm 行,每行三个正整数 x,y,zx,y,zx,y,z,表示节点 x,yx,yx,y 之间有一条长度为 z…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   有 \(n\) 张卡牌,第 \(i\) 张的权值 \(w_i\in\{1,2,3\}\),且取值为 \(k\) 的概率正比于 \(p_{i,k}\).依照此规则确定权值后,你不停抽卡,每次抽到第 \(i\) 张卡牌的概率正比于 \(w_i\),直到所有卡都被抽过至少一次.   此后,记 \(t_i\) 表示第 \(i\) 张牌第一次被抽到的时间.给定 \(n-1\) 条形如 \(\lang u,v\rang\) 的限制,表示…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定含 \(n\) 个点 \(m\) 条边的简单有向图 \(G=(V,E)\),求 \(H=(V,E'\subseteq E)\) 的数量,使得 \(H\) 是强连通图.答案模 \((10^9+7)\).   \(n\le15\). \(\mathcal{Solution}\)   仙气十足的状压容斥.   令 \(f(S)\) 表示仅考虑点集 \(S\) 的导出子图时,使得 \(S\) 强连通的选边方案数,那么 \(f(V…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   在一个 \(n\times n\) 的国际象棋棋盘上摆 \(n\) 个车,求满足: 所有格子都可以被攻击到. 恰好存在 \(k\) 对车可以互相攻击.   的摆放方案数,对 \(998244353\) 取模.   \(n\le2\times10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   这道<蓝题>嗷,看来兔是个傻子.   从第一个条件入手,所有格子可被攻击,那就有「每行都有车」或「每列都有车」成立.不妨…

题目描述 在给定的 $N$ 个整数 $A_1,A_2,A_3...A_n$ 中选出两个进行异或运算,得到的结果最大是多少? 输入格式 第一行一个整数$N$. 第二行$N$个整数$A_i$. 输出格式 一个整数表示答案. 样例 样例输入 5 2 9 5 7 0 样例输出 14 数据范围与提示 对于$100%$的数据,$1≤N≤10^5$,$0≤Ai<2^{31}$. 题解 这位朋友,你看这道题这样简洁,必然是很能拓展的题啊. 首先把每个数拆分二进制,从最高位(31位)开始,往0位走,算作一个字符串…

题目描述 原题来自:Codeforces Round #400 B. Sherlock 有了一个新女友(这太不像他了!).情人节到了,他想送给女友一些珠宝当做礼物. 他买了 nnn 件珠宝.第 iii 件的价值是 i+1i+1i+1.那就是说,珠宝的价值分别为 2,3,4,⋯,n+12,3,4,\cdots ,n+12,3,4,⋯,n+1. Watson 挑战 Sherlock,让他给这些珠宝染色,使得一件珠宝的价格是另一件的质因子时,两件珠宝的颜色不同.并且,Watson 要求他最小化颜色的使…

题目描述 Farmer John 要把他的牛奶运输到各个销售点.运输过程中,可以先把牛奶运输到一些销售点,再由这些销售点分别运输到其他销售点. 运输的总距离越小,运输的成本也就越低.低成本的运输是 Farmer John 所希望的.不过,他并不想让他的竞争对手知道他具体的运输方案,所以他希望采用费用第二小的运输方案而不是最小的.现在请你帮忙找到该运输方案. 输入格式 第一行是两个整数 N,MN,MN,M,表示顶点数和边数: 接下来 MMM 行每行 333 个整数,x,y,zx,y,zx,y,z,…