卢卡斯定理&扩展卢卡斯定理

卢卡斯定理求$C_m^n~mod~p$ 设$m={a_0}^{p_0}+{a_1}^{p_1}+\cdots+{a_k}^{p_k},n={b_0}^{p_0}+{b_1}^{p_1}+\cdots+{b_k}^{p_k}$ 则$C_m^n\equiv\prod{C_{a_i}^{b_i}}(mod~p)$ 扩展卢卡斯定理好像这也不是什么定理,只是一个计算方法计算$C_m^n~mod~p$,其中\(p={p_1}^{q_1}\times{p_2}^{q_2}\times\c…

bzoj2142 礼物——扩展卢卡斯定理

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2142 前几天学了扩展卢卡斯定理,今天来磕模板! 这道题式子挺好推的(连我都自己推出来了) ,总之就是在 n 个里取 w[1] 个,剩下的里面再取 w[2] 个,再在剩下的里面取... 这里的模数 P 一看就不是质数啊!大组合数对合数取模,就要用到扩展卢卡斯定理了: 关于扩展卢卡斯定理,可以看这篇博客:https://blog.csdn.net/clove_unique/article/de…

【知识总结】扩展卢卡斯定理（exLucas）

扩展卢卡斯定理用于求如下式子(其中$p$不一定是质数): \[C_n^m\ mod\ p\] 我们将这个问题由总体到局部地分为三个层次解决. 层次一:原问题首先对$p$进行质因数分解: \[p=\prod_i p_i^{k_i} \] 显然$p_i^{k_i}$是两两互质的,所以如果分别求出$C_n^m\ mod\ p_i^{k_i}$,就可以构造出若干个形如$C_n^m=a_i\ mod\ p_i^{k_i}$的方程,然后用中国剩余定理即可求解. 层次二:组合数模质数幂…

LG4720 【模板】扩展卢卡斯定理

扩展卢卡斯定理求 $C_n^m \bmod{p}$,其中 $C$ 为组合数. $1≤m≤n≤10^{18},2≤p≤1000000$ ,不保证 $p$ 是质数. Fading的题解设 \[ p=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k} \] 求出 \[ \left\{\begin{align*} C_n^m & \mod & {p_1^{\alpha_1}} \\ C_n^m & \mod & {…

【学习笔记】扩展卢卡斯定理 exLucas

引子求 \[C_n^m\ \text{mod}\ p \] 不保证 $p$ 是质数. 正文对于传统的 Lucas 定理,必须要求 $p$ 是质数才行.若 $p$ 不一定是质数,则需要扩展 Lucas 定理前置知识扩展欧几里得和中国剩余定理. 算法内容将 $p$ 用唯一分解定理分解,即 \[p=\prod p_i^{c_i} \] 若求出了 \[{n\choose m}\ \text{mod}\ p_i^{c_i} \] 就可以用中国剩余定理合并答案了.那么此时我们要求的…

洛谷P2480 [SDOI2010]古代猪文（费马小定理，卢卡斯定理，中国剩余定理，线性筛）

洛谷题目传送门蒟蒻惊叹于一道小小的数论题竟能涉及这么多知识点!不过,掌握了这些知识点,拿下这道题也并非难事. 题意一行就能写下来: 给定$N,G$,求$G^{\sum \limits _{d|N}C(N,d)}(\mod999911659)$ 乍一看,指数这么大,要怎么处理好呢?上费马小定理. 平时用费马小定理求逆元用多了,$a^{p-2}\equiv inv(a)(\mod p)$,搞得蒟蒻差点忘了它原本的样子$a^{p-1}=1(\mod p)$,那原式的指数\(\sum…

[学习笔记]扩展LUCAS定理

可以先做这个题[SDOI2010]古代猪文此算法和LUCAS定理没有半毛钱关系. [模板]扩展卢卡斯不保证P是质数. $C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$ 麻烦的是分母. 如果互质就有逆元了. 所以可以考虑把分子分母不互质的数单独提出来处理. 然鹅P太一般,直接处理要考虑的东西太多. 我们不妨令$p=p_1^{q_1}*p_2^{q_2}*...*p_k^{q_k}$ 对每一个$p_i^{q_i}$分别求解(不妨叫这个数为$pk$)(这样会容易很多) 即求ai满足:$\fr…

洛谷 P4720 【模板】扩展 / 卢卡斯模板题

扩展卢卡斯定理 : https://www.luogu.org/problemnew/show/P4720 卢卡斯定理:https://www.luogu.org/problemnew/show/P3807 卢卡斯模板 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int N =1e5; ll n, m, p, fac[N]; void init() { int i; fac[] =; ; i…

【luoguP4720】【模板】扩展卢卡斯

快速阶乘与(扩展)卢卡斯定理 $p$为质数时考虑 $n!~mod~p$ 的性质当$n>>p$时,不妨将$n!$中的因子$p$提出来 $n!$ 可以写成 $a*p^e$ , $a$与$p$互质如何求解$a$和$e$? 显然,$e=n/p+n/p^2+n/p^3+--$ 因为$1$~$n$有$n/p$个$p$的倍数,贡献为$1$,$n/p^2$个$p^2$的倍数,贡献为$2$-- 事实上,可以每次先将$1$~…

[洛谷P4720] [模板] 扩展卢卡斯

题目传送门求组合数的时候,如果模数p是质数,可以用卢卡斯定理解决. 但是卢卡斯定理仅仅适用于p是质数的情况. 当p不是质数的时候,我们就需要用扩展卢卡斯求解. 实际上,扩展卢卡斯=快速幂+快速乘+exgcd求逆元+质因数分解+crt合并答案+求阶乘,跟卢卡斯定理没什么关系...... 如果把模数p分解成p1^k1*p2^k2*...*px^kx的形式,那么我们可以求出c(n,m)分别模每个pi^ki的结果,再用中国剩余定理合并即可. 每个pi^ki一定是互质的,所以用朴素crt就行. 根据组合…

P4720【模板】扩展卢卡斯，P2183 礼物

扩展卢卡斯定理最近光做模板了想了解卢卡斯定理的去这里,那题也有我的题解然而这题和卢卡斯定理并没有太大关系(雾但是,首先要会的是中国剩余定理和exgcd 卢卡斯定理用于求$n,m$大,但模数$p$是质数,且较小的情况但这题$p$并不保证是质数所以,首先可以通过唯一分解定理给$p$分解乘若干质数相乘的形式:$p=\prod p_i^{r_i}$,当然$r$数列是分解后每个质数的指数则我们可以对于每个$p_i^{r_i}$,求出\(\tbinom{n}{m}…

2015 ICL, Finals, Div. 1 Ceizenpok’s formula（组合数取模，扩展lucas定理）

J. Ceizenpok’s formula time limit per test 2 seconds memory limit per test 256 megabytes input standard input output standard output Dr. Ceizenp'ok from planet i1c5l became famous across the whole Universe thanks to his recent discovery — the Ceizenp…

BZOJ2142礼物——扩展卢卡斯

题目描述一年一度的圣诞节快要来到了.每年的圣诞节小E都会收到许多礼物,当然他也会送出许多礼物.不同的人物在小E 心目中的重要性不同,在小E心中分量越重的人,收到的礼物会越多.小E从商店中购买了n件礼物,打算送给m个人 ,其中送给第i个人礼物数量为wi.请你帮忙计算出送礼物的方案数(两个方案被认为是不同的,当且仅当存在某个人在这两种方案中收到的礼物不同).由于方案数可能会很大,你只需要输出模P后的结果. 输入输入的第一行包含一个正整数P,表示模: 第二行包含两个整整数n和m,分别表示小E从商…

poj1061-青蛙的约会-（贝祖定理+扩展欧几里得定理+同余定理）

青蛙的约会 Time Limit: 1000MS Memory Limit: 10000K Total Submissions:132162 Accepted: 29199 Description 两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面.它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止.可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置.不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能…

【learning】扩展lucas定理

首先说下啥是lucas定理: $\binom n m \equiv \binom {n\%P} {m\%P} \times \binom{n/P}{m/P} \pmod P$ 借助这个定理,求$\binom n m$时,若$P$较小,且$n,m$非常大时,我们就可以用这个定理要降低复杂度. 但是这个定理有一些限制,比如说要求$p$是质数,遇到一些毒瘤出题人不太好应对. 当$P$不是质数时,这时就要用到一个叫做扩展lucas定理的东西. 令$P=\prod p_i^{k_i}$. 我们发现,如果对…

洛谷P4720 【模板】扩展卢卡斯

P4720 [模板]扩展卢卡斯题目背景这是一道模板题. 题目描述求 C(n,m)%P 其中 C 为组合数. 输入输出格式输入格式: 一行三个整数 n,m,p ,含义由题所述. 输出格式: 一行一个整数,表示答案. 输入输出样例输入样例#1: 5 3 3 输出样例#1: 1 输入样例#2: 666 233 123456 输出样例#2: 61728 说明 1≤m≤n≤1018,2≤p≤1000000 ,不保证 p 是质数. sol:ExLucas模板可以做P不是质数的组合数具体方法简单…

BZOJ - 2142 礼物 (扩展Lucas定理)

扩展Lucas定理模板题(貌似这玩意也只能出模板题了吧~~本菜鸡见识鄙薄,有待指正) 原理: https://blog.csdn.net/hqddm1253679098/article/details/82897638 https://blog.csdn.net/clove_unique/article/details/54571216 感觉扩展Lucas定理和Lucas定理的复杂程度差了不止一个档次,用到了一大堆莫名其妙的函数. 另外谁能告诉我把一个很大的组合数对一个非质数取模有什么卵用 #i…

[bzoj2142]礼物(扩展lucas定理+中国剩余定理)

题意:n件礼物,送给m个人,每人的礼物数确定,求方案数. 解题关键:由于模数不是质数,所以由唯一分解定理, $\bmod = p_1^{{k_1}}p_2^{{k_2}}......p_s^{{k_s}}$ 然后,分别求出每个组合数模每个$p_i^{{k_i}}$的值,这里可以用扩展lucas定理求解,(以下其实就是扩展lucas定理的简略证明) 关于$C_n^m\% {p^k}$, $C_n^m = \frac{{n!}}{{m!(n - m)!}}$, 我们以$n=19,p=3,k=2$为…

Luogu P2183 [国家集训队]礼物扩展卢卡斯+组合数

好吧学长说是板子...学了之后才发现就是板子qwq 题意:求$ C_n^{w_1}*C_{n-w_1}^{w_2}*C_{n-w_1-w_2}^{w_3}*...\space mod \space P$ 当然,如果$\Sigma w_i >n$,则无解. (不会扩展卢卡斯?) #include<cstdio> #include<iostream> #define ll long long #define R register ll using namespace std; i…

Lucas定理和扩展Lucas定理

1.Lucas定理首先给出式子:$C_n^m\%p = C_{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}^{\lfloor\frac{m}{p}\rfloor} * C_{n\%p}^{m\%p}\% p$,其中p为质数. 这里给出证明--证明是我在luogu上看到的lance1ot大佬的证明,个人认为是写的很好的,在此还要做一下补充. 首先,对于质数p,可以保证$C_p^i(1 <= i <= p-1) \equiv 0(mod\ p)$,这个比较显然,因为组合数一定是整…

Ceizenpok’s formula Gym - 100633J 扩展Lucas定理 + 中国剩余定理

http://codeforces.com/gym/100633/problem/J 其实这个解法不难学的,不需要太多的数学.但是证明的话,我可能给不了严格的证明.可以看看这篇文章 http://www.cnblogs.com/jianglangcaijin/p/3446839.html 膜拜 #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <cmath> #include…

模板 - 数学 - 数论 - 扩展Euler定理

费马(Fermat)小定理当 $p$ 为质数,则 $a^{p-1}\equiv 1 \mod p$ 反之,费马小定理的逆定理不成立,这样的数叫做伪质数,最小的伪质数是341. 欧拉(Euler)定理扩展欧拉(Euler)定理根据扩展欧拉定理,不管a和p是不是互质,都可以缩小到 $[\varphi(p),2\varphi(p)]$ 之间,然后暴力用快速幂求解.…

【扩展lucas定理】

洛谷模板题面:https://www.luogu.org/problemnew/show/P4720 扩展卢卡斯被用于解决模数为合数情形下的组合数问题. 首先我们把模数mod质因数分解,解决模每个素数的幂意义下的组合数这样一个子问题,最后用crt把他们合并到一起. 那么我们现在要解决这样一个问题: \[ C(n,m) \quad mod \quad p^k \] 其中p为质数. $p^k$可能很大,而且性质与p不同,使用单纯的lucas解决肯定是不行了. 我们考虑把组合数拆成阶乘的形式,发现…

[笔记] 扩展Lucas定理

[笔记] 扩展$Lucas$定理 $Lucas$定理:$\binom{n}{m} \equiv \binom{n/P}{m/P} \binom{n \% P}{m \% P}\pmod{P}$$(P\ is \ prime)$ Theory 那么如果$p$不是一个质数怎么办? 当我们需要计算$C_n^m\mod p$,其中$p = p_1^{q_1}\times p_2^{q_2}\times ...\times p_k^{q_k}$,我们可以求出:\(C_n^m\e…