原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/UOJ42.html 题解 首先我们把式子改写一下: $$(-1)^{\lfloor a\rfloor} \\=1-2(\lfloor a\rfloor \bmod 2)\\=1-2(\lfloor a\rfloor -2\lfloor \frac a2 \rfloor)$$ 于是问题就变成了求解: $$f(a,b,c,n) = \sum_{i=1}^n \left\lfloor \frac {a\sqrt{r

清华集训2014sum 求\[∑_{i=1}^{n}(-1)^{⌊i√r⌋}\] 多组询问,\(n\leq 10^9,t\leq 10^4, r\leq 10^4\). 吼题解啊 具体已经讲得很详细了(找了好久才找到的良心题解.) 首先看到向下取整的式子要会拆开. 然后套类欧几里德. 这里的类欧几里德比较简单,因为可以看作是\(y=kx\)的正比例的向下整点. 如果\(k>1\),那么就相当与直接算上面的点,然后把直线砍到\(k\leq 1\). 否则取反函数,相当于减小了\(n\)而增大了\(

传送门 令\(\sqrt r = x\) 考虑将\(-1^{\lfloor d \sqrt r \rfloor}\)魔改一下 它等于\(1-2 \times (\lfloor dx \rfloor \mod 2)\),也就等于\(1 - 2 \times \lfloor dx \rfloor + 4 \times \lfloor \frac{dx}{2} \rfloor\) 那么我们现在就要求\(\sum\limits_{i=1}^n \lfloor ix \rfloor\)的值,求\(\sum

[清华集训2014]矩阵变换 Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 256 MB 题目连接 http://uoj.ac/problem/41 Description 给出一个 N 行 M 列的矩阵A, 保证满足以下性质: M>N.    矩阵中每个数都是 [0,N] 中的自然数.    每行中, [1,N] 中每个自然数都恰好出现一次.这意味着每行中 0 恰好出现 M−N 次.    每列中,[1,N] 中每个自然数至多出现一次. 现在我们要在每行中选取一个非零数,

#38. [清华集训2014]奇数国 思路: 题目中的number与product不想冲: 即为number与product互素: 所以,求phi(product)即可: 除一个数等同于在模的意义下乘以一个数的逆元: 代码: #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define maxn 100005

传送门 分析 清华集训真的不是人做的啊嘤嘤嘤 我们可以考虑按操作时间把每个操作存进线段树里 如果现在点x正好使一个整块区间的右端点则更新代表这个区间的点 我们不难发现一个区间会因为不同的操作被分成若干块,每块对应序列上不同的区间 于是查询时对于每个线段树上区间查询时二分查找当前点在哪一块中即可 代码 #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<string> #include&

传送门 Sol \((-1)^a=1-2(a~mod~2)=1-2a+4\lfloor\frac{a}{2}\rfloor\) 那么原式变成 \(n-2\sum_{i=1}^{n}\lfloor d\sqrt{r}\rfloor+4\sum_{i=1}^{n}\lfloor \frac{d\sqrt{r}}{2}\rfloor\) 考虑计算这样一个东西 \[\sum_{i=1}^{n}\lfloor\frac{a*\sqrt{r}+b}{c}i\rfloor\] 如果 \(\sqrt{r}\)

题目描述 求一张有向图的强连通生成子图的数目对 $10^9+7$ 取模的结果. 题解 状压dp+容斥原理 设 $f[i]$ 表示点集 $i$ 强连通生成子图的数目,容易想到使用总方案数 $2^{sum[i]}$ 减去不为强连通图的方案数得到强连通图的方案数,其中 $sum[i]$ 表示点集 $i$ 中边的数目. 考虑什么样的图不是强连通图:缩点后入度为0的强连通分量对应的点集不是全集. 枚举这些入度为0的强连通分量对应的点集,由于无法保证只有这些点构成的入度为0的强连通分量,因此需要进一步容斥.

直接求出强联通生成子图的数量较难,不妨用所有生成子图的数量减去非强联通的. 非强联通生成子图在所点后满足编号最小的点所在的强联通分量不是全集. 由于$n$很小,我们可以考虑状态压缩. 对于点集$S$,我们钦定一个它的子集$K$入度数为$0$,希望除去$K$以外的$S$度数不为$0$ 设钦定$K$的度数为$0$其他随意的方案数为$H_{S,K}=2^{sum_S-sum_{\{S^K\}\rightarrow\{k\}}}$ 设$G_S$表示$S$分为奇数个强联通分量的方案数减去分为偶数个强联通分

传送门 不难看出就是要先求区间积,再求这个区间积的\(\varphi\) 因为\(\varphi(x)=x\times\frac{p_1-1}{p_1}\times\frac{p_2-1}{p_2}\times ...\),又因为质数总共只有\(60\)个,我们可以用一个\(long\ long\)来压位,表示某一个质因子是否出现过,那么用线段树维护这个东西,顺便维护区间乘积即可 因为模数是质数,可以预处理逆元 //minamoto #include<bits/stdc++.h> #defin

传送门 第一眼容斥,然后我就死活容不出来了-- 记\(f_i\)为点集\(i\)中的点强联通的方案数,那么就是总的方案数减去使\(i\)不连通的方案数 如果\(i\)不连通的话,我们可以枚举缩点之后拓扑序最小(也就是入度为\(0\))的强连通分量,然而这种强联通分量可能不止一个,需要容斥,不难发现这里的容斥系数在强联通分量个数为奇数时为正,为偶数时为负(也就是强联通分量为奇数时要减掉方案数,为偶数时要加上方案数) 设\(g_i\)为点集\(i\)中形成奇数个强连通分量的方案数\(-\)形成偶数个

题目链接 题目描述 给定一张强联通图,求有多少种边的存在情况满足图依然强联通. \(n\leq15\) Sol 首先正难则反,考虑用总数减去不强联通的. 考虑一张不强联通的图,缩点后一定是一个 DAG,好像可以对 DAG 进行计数. 诈一看这个做不了,因为缩点后计数是不可能在dp过程中实现的. 但我们按照 DAG 计数的思路的话其实并不需要真的知道 DAG 缩点后的形态. 我们类似 DAG 计数的话那么枚举这些缩完点后的点至少有多少个入度为 0 的点,然后容斥计算. 过程中我们用到的只是有 奇数

UOJ 题面传送门 看到 \(k\) 次方的期望可以很自然地想到利用低次方和维护高次方和的套路进行处理,不过.由于这里的 \(k\) 达到 \(5\),直接这么处理一来繁琐,二来会爆 long long,因此考虑另辟蹊径.注意到答案 \(\le 2^{63}-1\),也就是说当 \(k\) 比较大时值域也不会太大.因此考虑对 \(k\) 分类讨论. \(k=1\) 时考虑计算每一位的贡献,注意到对于一位 \(i\),如果存在某个 \(a_j\) 满足 \(a_j\) 的 \(2^i\) 位为 \

题目 如题. 算法 就是刚学习的插头DP. 从前往后和从后往前分别进行一次DP. 要点 合法的括号序列只有103个 如何合并两次dp的信息 一开始犯傻了,以为当且仅当两个轮廓线的状态相同才是合法的方案.其实很容易举出反例. 如果直接枚举的话,每次询问的时间复杂度是\(O(103^2 m)\). 为了加快速度,可以把所有合法的方案先列举出来(就是预处理),只有\(103^2\)个.每次询问的复杂度优化为\(O(103^2)\). 时间复杂度 \(O(103 \cdot n \cdot m + 10

题目 算法 稳定婚姻系统(其实就是贪心) 一个方案不合法,当且仅当下面这种情况: 设第\(i\)行选了数字\(x\),如果第\(j\)行有一个\(x\)在第\(i\)行的\(x\)后面,并且第\(j\)行所选的数字在第\(j\)行的\(x\)后面. 分析到这里就是典型的稳定婚姻系统了. 代码 #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> #inclu

题目 这可算是一道非常好的关于容斥原理的题了. 算法 好吧,这题我毫无思路,直接给正解. 首先,问题的正面不容易求,那么就求反面吧: 有多少种添加边的方案,使得这个图是DAG图(这里及以下所说的DAG图都是指这个图不是整个强连通的). 利用容斥原理,DAG图的特征是有至少一个入度为\(0\)的点并且这个图不止一个点(这里及以下所说的点都是指求强连通后的点),就根据这个进行容斥. 设\(g(set)\)为集合里的点都是入度为\(0\)的方案数,注意,这个有点特别,比如这个: 它的值应该为\(0\)

题目 这可算是描述很简单的一道题了!但是不简单. \(S\)是一个可重集合,\(S = \{a_1, a_2, \dots, a_n \}\). 等概率随机取\(S\)的一个子集\(A = \{a_{i_1}, \dots, a_{i_m}\}\). 计算出\(A\)中所有元素异或\(x\), 求\(x^k\)的期望. 要点 要点 1 所有异或出来的不同结果的数量是同样多的(这句话可能有点不清楚). 我的意思是说,假如异或出来的结果有\(5\).\(3\).\(4\),那么结果是\(5\)的异或

题目 题目看起来好像很难的样子!其实不然,这是最简单的一道题. 算法 首先要注意的是: \(number \cdot x + product \cdot y = 1\) ,那么我们称\(number\)与\(product\)不相冲. 等价于 当\(number\)和\(product\)互质时,那么我们称\(number\)与\(product\)不相冲. 所以求与\(product\)不冲突的\(number\)个数,即是求\(\varphi (product)\)(即\(product\)

 number⋅x+product⋅y=1  有整数x,y解的条件是gcd(number, product) == 1. product用线段树维护一下,然后现学了个欧拉函数. 可以这样假如x = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 * ... * pn^an,那么phi(x) = (p1 - 1) * p1^(a1 - 1) + (p2 - 1) * p2^(a2 - 1) + (p3 - 1) * p3^(a3 - 1) + ... + (pn - 1) * pn^(an - 1).

Description 给出一个 $N$ 行 $M$ 列的矩阵A, 保证满足以下性质: $M > N$. 矩阵中每个数都是 $[0, N]$ 中的自然数. 每行中, $[1, N]$ 中每个自然数都恰好出现一次.这意味着每行中 $0$ 恰好出现 $M - N$ 次. 每列中,$[1, N]$ 中每个自然数至多出现一次. 现在我们要在每行中选取一个非零数,并把这个数之后的数赋值为这个数.我们希望保持上面的性质4,即每列中,$[1, N]$ 中每个自然数仍然至多出现一次. Input 第一行一个正整