充分性证明就先咕了,因为楼主太弱了,有一部分没看懂 霍尔定理内容 二分图G中的两部分顶点组成的集合分别为X, Y(假设有\(\lvert X \rvert \leq \lvert Y \rvert\)).G中有一组无公共点的边,一端恰好为组成X的点(也就是存在完美匹配)的充分必要条件是:X中的任意k个点至少与Y中的k个点相邻,即对于X中的一个点集W ,令N(W)为W的所有邻居, 霍尔定理即对于任意W,\(\lvert W\rvert \leq \lvert N(W)\rvert\) 证明 1.必

题意:给你一张n个点的DAG,最大化选择的点数,是点之间两两不可达. 要从Dilworth定理说起. Dilworth定理是定义在偏序集上的,也可以从图论的角度解释.偏序集中两个元素能比较大小,则在图中连一条有向边. 定义反链为一个点集,满足集合中的点两两不可达. Dilworth定理:最小路径覆盖=最长反链. 证明:http://vfleaking.blog.163.com/blog/static/1748076342012918105514527/ 例子:NOIP1999第二问:给定一个数列

题面传送门 AC 自动机有时只是辅助建图的工具,真的 首先看到多串问题,果断建出 AC 自动机.设 \(m=\sum|s_i|\). 不难发现子串的包含关系构成了一个偏序集,于是我们考虑转化为图论,若 \(s_j\) 包含于 \(s_i\) 则连一条 \(i\to j\) 的边.显然利用 AC 自动机可实现 \(\mathcal O(m)\) 建图. 题目要我们求的实际上是该偏序集的最大反链大小,根据 Dilworth 定理可将其转化为最小可相交覆盖的大小. 而最小可相交链覆盖的大小又可以通过传

[CF981F]Round Marriage(二分答案,二分图匹配,Hall定理) 题面 CF 洛谷 题解 很明显需要二分. 二分之后考虑如果判定是否存在完备匹配,考虑\(Hall\)定理. 那么如果不合法,假设我们存在一个极小的集合满足连到右侧的点数小于集合大小.因为是极小的,所以删去一个点之后就可以匹配,那么意为着某个点连出去的点和其他所有点有交,既然有交,那么一定这一段区间都可以加入进来形成一个不合法的集合.所以我们可以把存在一个点集不合法变成存在一段连续区间不合法. 假设每个点连向另外一

题意: 给定一个H行W列的矩阵,在矩阵的格点上放带权值的卡片(一个点上能放多张). 现在从每行每列各拿走一张卡片(没有可以不拿),求可以拿到的最大权值. 卡片数N<=1e5,H,W<=1e5 思路: 显然可以构造成一个最大费用流模型:每张卡片到它对应的行列各有一条费用0,容量1的边:源点到每张卡片有一条费用为卡片权值,容量1的边:每个行列到汇点有一条费用0,容量1的边.但是边数有5e5,应该会超时吧? 观察这个图发现除去源点和汇点是一张二分图,想到是否可以利用二分图的性质简化问题. 手动模拟一

目录 题目链接 题解 代码 题目链接 bzoj3693: 圆桌会议 题解 对与每个人构建二分,问题化为时候有一个匹配取了所有的人 Hall定理--对于任意的二分图G,G的两个部分为X={x1,x2,-,xn}和Y={y1,y2,-,ym}, 存在一个匹配M使得|M|=|X|的充要条件为对于X的任意一个子集A,与A相邻的点集记为T(A),一定有|T(A)|≥|A| 拆环为链 对于任意的区间[L,R],长度R-L+1,将所有区间[L,R]内的组插入操作求和为sum,如果sum > R - L + 1

/* 二分答案,判mid是否合法 如何判断:如果是在直线上,那么遍历匹配即可 现在在环上,即既可以向前匹配也可以向后匹配,那么将环拆开,扩展成三倍 显然a和b的匹配边是不可能交叉的,因为交叉必定没有不交叉优 hall定理:二分图两个点集A,B,连续一段A的点对应连续一段B的点的 充要条件是 这些点对的匹配边之间不交叉 重要推论:二部图G中的两部分顶点组成的集合分别为X,Y, 若|X|=|Y|, 且G中有一组无公共端点的边,一端恰好组成X中的点,一端恰好组成Y中的点,则称二部图G中存在完美匹配 有

(附一道例题) Time Limit: 1000 ms   Memory Limit: 128 MB Description 最小点覆盖是指在二分图中,用最小的点集覆盖所有的边.当然,一个二分图的最小点覆盖可能有很多种. 现在给定一个二分图,请你把图中的点分成三个集合: 如果在任何一种最小点覆盖中都不包含这个点,则认为该点属于N集合. 如果在任何一种最小点覆盖中都包含这个点,则认为该点属于A集合. 如果一个点既不属于N集合,又不属于A集合,则认为该点属于E集合. Input 第一行包含三个整数n

匈牙利算法转自于: https://blog.csdn.net/dark_scope/article/details/8880547 匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出,因而得名.匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想,它是部图匹配最常见的算法,该算法的核心就是寻找增广路径,它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法. -------等等,看得头大?那么请看下面的版本: 通过数代人的努力,你终于赶上了剩男剩女的大潮,假设你是一位光荣的新世纪媒人,在你的手上有N个剩男,

\(Description\) 给定一个\(n\)个点的二分图,每条边有边权.求一个边权最小的边集,使得删除该边集后不存在完备匹配. \(n\leq20\). \(Solution\) 设点集为\(S\),与\(S\)中的点相邻的点的并集为\(N(S)\). 由Hall定理,若存在点集\(S\)满足\(|S|>|N(S)|\),则该图不存在完备匹配. 因为\(n\)很小,直接枚举所有子集\(S\)并贪心删相邻点即可. 另外topcoder跑得快,直接写\(2^n\times n^2\)就好了..

题目链接 只有指向父节点的单向道路,所以c个人肯定在LCA处汇合.那么就成了有c条到LCA的路径,求最大的x,满足能从c条路径中各选出x个数,且它们不同. 先要维护一条路径的数的种类数,可以树剖+每条链维护一个bitset解决.用vector一条链加一个bitset,SDOI R2现场测过我记得空间还不算特别大..当然本题数字只有1000种,一个点开一个bitset没问题.最后合并时还要通过线段树. 假设答案是x,那么c个人都要从可选特产中不重复地选x个,把每个人拆成x个点就是一个二分图完备匹配

[BZOJ2138]stone Description 话说Nan在海边等人,预计还要等上M分钟.为了打发时间,他玩起了石子.Nan搬来了N堆石子,编号为1到N,每堆包含Ai颗石子.每1分钟,Nan会在编号在[Li,Ri]之间的石堆中挑出任意Ki颗扔向大海(好疼的玩法),如果[Li,Ri]剩下石子不够Ki颗,则取尽量地多.为了保留扔石子的新鲜感,Nan保证任意两个区间[Li,Ri]和[Lj,Rj],不会存在Li<=Lj&Rj<=Ri的情况,即任意两段区间不存在包含关系.可是,如果选择不

Description 初始时滑冰俱乐部有1到n号的溜冰鞋各k双.已知x号脚的人可以穿x到x+d的溜冰鞋. 有m次操作,每次包含两个数ri,xi代表来了xi个ri号脚的人.xi为负,则代表走了这么多人. 对于每次操作,输出溜冰鞋是否足够. Input n m k d ( 1≤n≤200,000 , 1≤m≤500,000 , 1≤k≤10^9 , 0≤d≤n ) ri xi ( 1≤i≤m, 1≤ri≤n-d , |xi|≤10^9 ) Output 对于每个操作,输出一行,TAK表示够 NIE

Hall定理 Tags:图论 zybl 二分图\(G=<V1,V2,E>\)中,\(|V1|<|V2|\),当且仅当\(V1\)中任意\(k(=1,2,3..|V1|)\)个顶点都与\(V2\)中至少\(k\)个点相邻时,该二分图存在完美匹配 证明见此博客 例题见HNOI省队集训

基本定义 \(Hall\) 定理是二分图匹配的相关定理 用于判断二分图是否存在完美匹配 存在完美匹配的二分图即满足最大匹配数为 \(min(|X|,|Y|)\) 的二分图,也就是至少有一边的点全部被匹配到了 定理 设 \(M(U)\) 为与 \(U\) 中的点相连的点集,一个二分图 \(U,V(|U|<=|V|)\) 存在完美匹配,满足对于任意点集 \(x∈U\) 都有 \(|M(X)|>=|X|\) 必要性证明 连出去的边数都不足点数,那么显然不能构成完美匹配 充分性证明 假如存在一个满足

[BZOJ2138]stone(线段树,Hall定理) 题面 BZOJ 题解 考虑一个暴力. 我们对于每堆石子和每个询问,显然是匹配的操作. 所以可以把石子拆成\(a_i\)个,询问点拆成\(K_i\)个,这样就是每次进行一次二分图的匹配. 当然可以用网络流+线段树优化连边来做,但是这样复杂度太高. 还是回到二分图的匹配问题,我们现在要验证的就是是否存在对于当前询问点的完美匹配. 关于完美匹配,有\(Hall\)定理,如果存在完美匹配,假设左侧的点有\(|X|\)个,那么这些点连向右边的点的点集

1135: [POI2009]Lyz Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 162 MBSubmit: 573  Solved: 280[Submit][Status][Discuss] Description 初始时滑冰俱乐部有1到n号的溜冰鞋各k双.已知x号脚的人可以穿x到x+d的溜冰鞋. 有m次操作,每次包含两个数ri,xi代表来了xi个ri号脚的人.xi为负,则代表走了这么多人. 对于每次操作,输出溜冰鞋是否足够. Input n m k d ( 1≤n≤2

---题面--- 题目大意: 有n个人,m个座位,每个人可以匹配的座位是[1, li] || [ri, m],可能有人不需要匹配座位(默认满足),问最少有多少人不能被满足. 题解: 首先可以看出这是一个二分图匹配,根据hall定理,我们只需要求出max(人的子集大小 -  被选出的人可以选的座位集合大小). 但是枚举人的复杂度太高,所以考虑枚举座位集合,因为每个人的可选区间都是一段前缀or后缀,因此要表达一个合法的座位集合,我们只需要所有人中最右边的li和最左边的ri即可. 如图所示: 因此这个

题意 题目链接 Sol 好的又是神仙题... 我的思路:对于区间分两种情况讨论,一种是完全包含,另一种是部分包含.第一种情况非常好判断,至于计算对于一个区间[l, r]的$\sum a[i]$就可以了,但是后两种呢?qwq.想了半天也没想出来.看了下题解,果然还有更高端的操作! 首先这题可以看是二分图匹配,最暴力的写法是对于每个a[i],直接拆成a[i]个点,然后分别向$[l_i, r_i]$连边,最后看是否能完全匹配. 有一个专门判断这玩意儿的定理: Hall定理:二部图G中的两部分顶点组成的

Hall 定理 是匈牙利算法的基础 大意是说,对于一个二分图 左边的集合记为X,右边的集合记为Y 存在完美匹配,(即匹配数目=min(|X|,|Y|))的充分必要条件是 对于任意一个X的子集,设大小为k,那么和这个子集相连的Y必须不小于k个 这里有一个十分直观的证明 http://blog.csdn.net/werkeytom_ftd/article/details/65658944 [No Name Problem] 给出左右两边20个点的二分图以及一些边,每个点有点权 两边选出点集,要求可以