JavaScript 数据结构与算法之美 - 归并排序、快速排序、希尔排序、堆排序

1. 前言

算法为王。

想学好前端，先练好内功，只有内功深厚者，前端之路才会走得更远。

笔者写的 JavaScript 数据结构与算法之美 系列用的语言是 JavaScript ，旨在入门数据结构与算法和方便以后复习。

之所以把归并排序、快速排序、希尔排序、堆排序放在一起比较，是因为它们的平均时间复杂度都为 O(nlogn)。

请大家带着问题：快排和归并用的都是分治思想，递推公式和递归代码也非常相似，那它们的区别在哪里呢 ? 来阅读下文。

2. 归并排序（Merge Sort）

思想

排序一个数组，我们先把数组从中间分成前后两部分，然后对前后两部分分别排序，再将排好序的两部分合并在一起，这样整个数组就都有序了。

归并排序采用的是分治思想。

分治，顾名思义，就是分而治之，将一个大问题分解成小的子问题来解决。小的子问题解决了，大问题也就解决了。

注：x >> 1 是位运算中的右移运算，表示右移一位，等同于 x 除以 2 再取整，即 x >> 1 === Math.floor(x / 2) 。

实现

const mergeSort = arr => {

	//采用自上而下的递归方法

	const len = arr.length;

	if (len < 2) {

		return arr;

	}

	// length >> 1 和 Math.floor(len / 2) 等价

	let middle = Math.floor(len / 2),

		left = arr.slice(0, middle),

		right = arr.slice(middle); // 拆分为两个子数组

	return merge(mergeSort(left), mergeSort(right));

};

const merge = (left, right) => {

	const result = [];

	while (left.length && right.length) {

		// 注意: 判断的条件是小于或等于，如果只是小于，那么排序将不稳定.

		if (left[0] <= right[0]) {

			result.push(left.shift());

		} else {

			result.push(right.shift());

		}

	}

	while (left.length) result.push(left.shift());

	while (right.length) result.push(right.shift());

	return result;

};

测试

// 测试

const arr = [3, 44, 38, 5, 47, 15, 36, 26, 27, 2, 46, 4, 19, 50, 48];

console.time('归并排序耗时');

console.log('arr :', mergeSort(arr));

console.timeEnd('归并排序耗时');

// arr : [2, 3, 4, 5, 15, 19, 26, 27, 36, 38, 44, 46, 47, 48, 50]

// 归并排序耗时: 0.739990234375ms

分析

第一，归并排序是原地排序算法吗？

这是因为归并排序的合并函数，在合并两个有序数组为一个有序数组时，需要借助额外的存储空间。

实际上，尽管每次合并操作都需要申请额外的内存空间，但在合并完成之后，临时开辟的内存空间就被释放掉了。在任意时刻，CPU 只会有一个函数在执行，也就只会有一个临时的内存空间在使用。临时内存空间最大也不会超过 n 个数据的大小，所以空间复杂度是 O(n)。

所以，归并排序不是原地排序算法。
第二，归并排序是稳定的排序算法吗？

merge 方法里面的 left[0] <= right[0] ，保证了值相同的元素，在合并前后的先后顺序不变。归并排序是一种稳定的排序方法。
第三，归并排序的时间复杂度是多少？

从效率上看，归并排序可算是排序算法中的佼佼者。假设数组长度为 n，那么拆分数组共需 logn 步, 又每步都是一个普通的合并子数组的过程，时间复杂度为 O(n)，故其综合时间复杂度为 O(nlogn)。

最佳情况：T(n) = O(nlogn)。

最差情况：T(n) = O(nlogn)。

平均情况：T(n) = O(nlogn)。

动画

3. 快速排序（Quick Sort）

快速排序的特点就是快，而且效率高！它是处理大数据最快的排序算法之一。

思想

先找到一个基准点（一般指数组的中部），然后数组被该基准点分为两部分，依次与该基准点数据比较，如果比它小，放左边；反之，放右边。
左右分别用一个空数组去存储比较后的数据。
最后递归执行上述操作，直到数组长度 <= 1;

特点：快速，常用。

缺点：需要另外声明两个数组，浪费了内存空间资源。

实现

方法一：

const quickSort1 = arr => {

	if (arr.length <= 1) {

		return arr;

	}

	//取基准点

	const midIndex = Math.floor(arr.length / 2);

	//取基准点的值，splice(index,1) 则返回的是含有被删除的元素的数组。

	const valArr = arr.splice(midIndex, 1);

	const midIndexVal = valArr[0];

	const left = []; //存放比基准点小的数组

	const right = []; //存放比基准点大的数组

	//遍历数组，进行判断分配

	for (let i = 0; i < arr.length; i++) {

		if (arr[i] < midIndexVal) {

			left.push(arr[i]); //比基准点小的放在左边数组

		} else {

			right.push(arr[i]); //比基准点大的放在右边数组

		}

	}

	//递归执行以上操作，对左右两个数组进行操作，直到数组长度为 <= 1

	return quickSort1(left).concat(midIndexVal, quickSort1(right));

};

const array2 = [5, 4, 3, 2, 1];

console.log('quickSort1 ', quickSort1(array2));

// quickSort1: [1, 2, 3, 4, 5]

方法二：

// 快速排序

const quickSort = (arr, left, right) => {

	let len = arr.length,

		partitionIndex;

	left = typeof left != 'number' ? 0 : left;

	right = typeof right != 'number' ? len - 1 : right;

	if (left < right) {

		partitionIndex = partition(arr, left, right);

		quickSort(arr, left, partitionIndex - 1);

		quickSort(arr, partitionIndex + 1, right);

	}

	return arr;

};

const partition = (arr, left, right) => {

	//分区操作

	let pivot = left, //设定基准值（pivot）

		index = pivot + 1;

	for (let i = index; i <= right; i++) {

		if (arr[i] < arr[pivot]) {

			swap(arr, i, index);

			index++;

		}

	}

	swap(arr, pivot, index - 1);

	return index - 1;

};

const swap = (arr, i, j) => {

	let temp = arr[i];

	arr[i] = arr[j];

	arr[j] = temp;

};

测试

// 测试

const array = [5, 4, 3, 2, 1];

console.log('原始array:', array);

const newArr = quickSort(array);

console.log('newArr:', newArr);

// 原始 array:  [5, 4, 3, 2, 1]

// newArr:     [1, 4, 3, 2, 5]

分析

第一，快速排序是原地排序算法吗？

因为 partition() 函数进行分区时，不需要很多额外的内存空间，所以快排是原地排序算法。
第二，快速排序是稳定的排序算法吗？

和选择排序相似，快速排序每次交换的元素都有可能不是相邻的，因此它有可能打破原来值为相同的元素之间的顺序。因此，快速排序并不稳定。
第三，快速排序的时间复杂度是多少？

极端的例子：如果数组中的数据原来已经是有序的了，比如 1，3，5，6，8。如果我们每次选择最后一个元素作为 pivot，那每次分区得到的两个区间都是不均等的。我们需要进行大约 n 次分区操作，才能完成快排的整个过程。每次分区我们平均要扫描大约 n / 2 个元素，这种情况下，快排的时间复杂度就从 O(nlogn) 退化成了 O(n²)。

最佳情况：T(n) = O(nlogn)。

最差情况：T(n) = O(n²)。

平均情况：T(n) = O(nlogn)。

动画

解答开篇问题

快排和归并用的都是分治思想，递推公式和递归代码也非常相似，那它们的区别在哪里呢？

可以发现：

归并排序的处理过程是由下而上的，先处理子问题，然后再合并。
而快排正好相反，它的处理过程是由上而下的，先分区，然后再处理子问题。
归并排序虽然是稳定的、时间复杂度为 O(nlogn) 的排序算法，但是它是非原地排序算法。
归并之所以是非原地排序算法，主要原因是合并函数无法在原地执行。
快速排序通过设计巧妙的原地分区函数，可以实现原地排序，解决了归并排序占用太多内存的问题。

4. 希尔排序（Shell Sort）

思想

先将整个待排序的记录序列分割成为若干子序列。
分别进行直接插入排序。
待整个序列中的记录基本有序时，再对全体记录进行依次直接插入排序。

过程

举个易于理解的例子：[35, 33, 42, 10, 14, 19, 27, 44]，我们采取间隔 4。创建一个位于 4 个位置间隔的所有值的虚拟子列表。下面这些值是 { 35, 14 }，{ 33, 19 }，{ 42, 27 } 和 { 10, 44 }。

我们比较每个子列表中的值，并在原始数组中交换它们（如果需要）。完成此步骤后，新数组应如下所示。

然后，我们采用 2 的间隔，这个间隙产生两个子列表：{ 14, 27, 35, 42 }， { 19, 10, 33, 44 }。

我们比较并交换原始数组中的值（如果需要）。完成此步骤后，数组变成：[14, 10, 27, 19, 35, 33, 42, 44]，图如下所示，10 与 19 的位置互换一下。

最后，我们使用值间隔 1 对数组的其余部分进行排序，Shell sort 使用插入排序对数组进行排序。

实现

const shellSort = arr => {

	let len = arr.length,

		temp,

		gap = 1;

	console.time('希尔排序耗时');

	while (gap < len / 3) {

		//动态定义间隔序列

		gap = gap * 3 + 1;

	}

	for (gap; gap > 0; gap = Math.floor(gap / 3)) {

		for (let i = gap; i < len; i++) {

			temp = arr[i];

			let j = i - gap;

			for (; j >= 0 && arr[j] > temp; j -= gap) {

				arr[j + gap] = arr[j];

			}

			arr[j + gap] = temp;

			console.log('arr  :', arr);

		}

	}

	console.timeEnd('希尔排序耗时');

	return arr;

};

测试

// 测试

const array = [35, 33, 42, 10, 14, 19, 27, 44];

console.log('原始array:', array);

const newArr = shellSort(array);

console.log('newArr:', newArr);

// 原始 array:   [35, 33, 42, 10, 14, 19, 27, 44]

// arr      :   [14, 33, 42, 10, 35, 19, 27, 44]

// arr      :   [14, 19, 42, 10, 35, 33, 27, 44]

// arr      :   [14, 19, 27, 10, 35, 33, 42, 44]

// arr      :   [14, 19, 27, 10, 35, 33, 42, 44]

// arr      :   [14, 19, 27, 10, 35, 33, 42, 44]

// arr      :   [14, 19, 27, 10, 35, 33, 42, 44]

// arr      :   [10, 14, 19, 27, 35, 33, 42, 44]

// arr      :   [10, 14, 19, 27, 35, 33, 42, 44]

// arr      :   [10, 14, 19, 27, 33, 35, 42, 44]

// arr      :   [10, 14, 19, 27, 33, 35, 42, 44]

// arr      :   [10, 14, 19, 27, 33, 35, 42, 44]

// 希尔排序耗时: 3.592041015625ms

// newArr:     [10, 14, 19, 27, 33, 35, 42, 44]

分析

第一，希尔排序是原地排序算法吗？

希尔排序过程中，只涉及相邻数据的交换操作，只需要常量级的临时空间，空间复杂度为 O(1) 。所以，希尔排序是原地排序算法。
第二，希尔排序是稳定的排序算法吗？

我们知道，单次直接插入排序是稳定的，它不会改变相同元素之间的相对顺序，但在多次不同的插入排序过程中，相同的元素可能在各自的插入排序中移动，可能导致相同元素相对顺序发生变化。

因此，希尔排序不稳定。
第三，希尔排序的时间复杂度是多少？

最佳情况：T(n) = O(n log n)。

最差情况：T(n) = O(n log² n)。

平均情况：T(n) = O(n log² n)。

动画

5. 堆排序（Heap Sort）

堆的定义

堆其实是一种特殊的树。只要满足这两点，它就是一个堆。

堆是一个完全二叉树。

完全二叉树：除了最后一层，其他层的节点个数都是满的，最后一层的节点都靠左排列。
堆中每一个节点的值都必须大于等于（或小于等于）其子树中每个节点的值。

也可以说：堆中每个节点的值都大于等于（或者小于等于）其左右子节点的值。这两种表述是等价的。

对于每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆，我们叫作大顶堆。

对于每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆，我们叫作小顶堆。

其中图 1 和图 2 是大顶堆，图 3 是小顶堆，图 4 不是堆。除此之外，从图中还可以看出来，对于同一组数据，我们可以构建多种不同形态的堆。

思想

将初始待排序关键字序列 (R1, R2 .... Rn) 构建成大顶堆，此堆为初始的无序区；
将堆顶元素 R[1] 与最后一个元素 R[n] 交换，此时得到新的无序区 (R1, R2, ..... Rn-1) 和新的有序区 (Rn) ，且满足 R[1, 2 ... n-1] <= R[n]。
由于交换后新的堆顶 R[1] 可能违反堆的性质，因此需要对当前无序区 (R1, R2 ...... Rn-1) 调整为新堆，然后再次将 R[1] 与无序区最后一个元素交换，得到新的无序区 (R1, R2 .... Rn-2) 和新的有序区 (Rn-1, Rn)。不断重复此过程，直到有序区的元素个数为 n - 1，则整个排序过程完成。

实现

// 堆排序

const heapSort = array => {

	console.time('堆排序耗时');

	// 初始化大顶堆，从第一个非叶子结点开始

	for (let i = Math.floor(array.length / 2 - 1); i >= 0; i--) {

		heapify(array, i, array.length);

	}

	// 排序，每一次 for 循环找出一个当前最大值，数组长度减一

	for (let i = Math.floor(array.length - 1); i > 0; i--) {

		// 根节点与最后一个节点交换

		swap(array, 0, i);

		// 从根节点开始调整，并且最后一个结点已经为当前最大值，不需要再参与比较，所以第三个参数为 i，即比较到最后一个结点前一个即可

		heapify(array, 0, i);

	}

	console.timeEnd('堆排序耗时');

	return array;

};

// 交换两个节点

const swap = (array, i, j) => {

	let temp = array[i];

	array[i] = array[j];

	array[j] = temp;

};

// 将 i 结点以下的堆整理为大顶堆，注意这一步实现的基础实际上是：

// 假设结点 i 以下的子堆已经是一个大顶堆，heapify 函数实现的

// 功能是实际上是：找到 结点 i 在包括结点 i 的堆中的正确位置。

// 后面将写一个 for 循环，从第一个非叶子结点开始，对每一个非叶子结点

// 都执行 heapify 操作，所以就满足了结点 i 以下的子堆已经是一大顶堆

const heapify = (array, i, length) => {

	let temp = array[i]; // 当前父节点

	// j < length 的目的是对结点 i 以下的结点全部做顺序调整

	for (let j = 2 * i + 1; j < length; j = 2 * j + 1) {

		temp = array[i]; // 将 array[i] 取出，整个过程相当于找到 array[i] 应处于的位置

		if (j + 1 < length && array[j] < array[j + 1]) {

			j++; // 找到两个孩子中较大的一个，再与父节点比较

		}

		if (temp < array[j]) {

			swap(array, i, j); // 如果父节点小于子节点:交换；否则跳出

			i = j; // 交换后，temp 的下标变为 j

		} else {

			break;

		}

	}

};

测试

const array = [4, 6, 8, 5, 9, 1, 2, 5, 3, 2];

console.log('原始array:', array);

const newArr = heapSort(array);

console.log('newArr:', newArr);

// 原始 array:  [4, 6, 8, 5, 9, 1, 2, 5, 3, 2]

// 堆排序耗时: 0.15087890625ms

// newArr:     [1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9]

分析

第一，堆排序是原地排序算法吗？

整个堆排序的过程，都只需要极个别临时存储空间，所以堆排序是原地排序算法。
第二，堆排序是稳定的排序算法吗？

因为在排序的过程，存在将堆的最后一个节点跟堆顶节点互换的操作，所以就有可能改变值相同数据的原始相对顺序。

所以，堆排序是不稳定的排序算法。
第三，堆排序的时间复杂度是多少？

堆排序包括建堆和排序两个操作，建堆过程的时间复杂度是 O(n)，排序过程的时间复杂度是 O(nlogn)，所以，堆排序整体的时间复杂度是 O(nlogn)。

最佳情况：T(n) = O(nlogn)。

最差情况：T(n) = O(nlogn)。

平均情况：T(n) = O(nlogn)。

动画

6. 排序算法的复杂性对比

复杂性对比

名称	平均	最好	最坏	空间	稳定性	排序方式
归并排序	O(n log n)	O(n log n)	O(n log n)	O(n)	Yes	Out-place
快速排序	O(n log n)	O(n log n)	O(n²)	O(logn)	No	In-place
希尔排序	O(n log n)	O(n log² n)	O(n log² n)	O(1)	No	In-place
堆排序	O(n log n)	O(n log n)	O(n log n)	O(1)	No	In-place

算法可视化工具

算法可视化工具 algorithm-visualizer

算法可视化工具 algorithm-visualizer 是一个交互式的在线平台，可以从代码中可视化算法，还可以看到代码执行的过程。

效果如下图。

旨在通过交互式可视化的执行来揭示算法背后的机制。

算法可视化来源 https://visualgo.net/en

效果如下图。
https://www.ee.ryerson.ca

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变量和操作的可视化表示增强了控制流和实际源代码。您可以快速前进和后退执行，以密切观察算法的工作方式。

7. 最后

文中所有的代码及测试事例都已经放到我的 GitHub 上了。

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参考文章：