P3043 [USACO12JAN]牛联盟（并查集+数学）

（m<n<=1e5,有重边）

题目表述有问题.....

给定一张图（不一定联通），每条边可以选择连接的两个点之一，剩余的点可以自己成对，问方案数。

一开始是真的被吓到了....觉得可写性极低的一题.....

但是两个结论如果推出来的话就蛮好的了

solution：

一开始想：对于每个块进行大小统计，然后组合数乘在一起。但是，有点麻烦：

有环的情况：对于一个联通块有环，那么就会有n个点，n条边，那就意味着会有一个联通块只有一个单独的点。单独考虑环块（下统称环块）

看看这个三元环（误），先确定第一条边选左或右两个点，如果第一个边确定了自己的选择，那么它就会占用下一条边的一个选择的权利，也就是：

如果确定了一条边，就可以确定整个环上的方案数：2

如果不是裸环的环块呢？

看这个：

同上，确定了环上的两个，链的一端就会被占用，也就是说：

只要是环块，对答案的贡献就是2！

（伟大的发现）

考虑无环的情况：

一共n个点，n-1条边（无向图，不能有环就是树），一共有n种方案。感性证明一下（不知道该怎么理性）：

最后一个点不被选，而这个不被选的点一共有n种情况，这就是n种方案。

最后根据乘法原理，把所有的方案数乘起来就是ans。

综上结论，题目就变成了：给定一张图，判断联通块大小，找联通块里的环，统计答案

联通块？我有并查集！

找环？我有tarjan！

（旁边两位z姓大佬给我闷头两巴掌，这题还tarjan？你想变成zwjdd长度？？？）

这里介绍一种无向图判环方法（注意，不是找环，只能判断存在）

还是使用并查集，原理就是在一个联通块内，如果遍历边的次数=点的个数，那么这里就存在环。

貌似是这样哈....我太弱了

代码（注释版）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e6+;
const int mod=1e9+;
long long f[maxn],num[maxn],n,m,ans=,c[maxn];
long long find(long long x){return f[x]==x?x:f[x]=find(f[x]);}//被大佬逼的一行冰茶姬
//variable declare：num[]：联通块大小，f[]不解释，c[]联通块内边的数量
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(int i=;i<=n;i++)
    f[i]=i,num[i]=;//初始化
    for(int i=;i<=m;i++)
    {
        long long x,y;
        scanf("%lld%lld",&x,&y);
        long long fa=find(x);
        long long fb=find(y);
        if(fa!=fb)//合并
        {
            f[fa]=fb;
            num[fb]+=num[fa];//把联通块大小合并
            num[fa]=;//清零联通块大小
            c[fb]+=c[fa]+;//联通块内多了一条边
        }
        else
        {
            c[fb]++;//否则多了一条非树边
        }
    }
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        if(f[i]==i&&c[i]<num[i])//如果边数没有点数多
        ans=ans*num[i]%mod;//统计答案
        else if(f[i]==i&&c[i]>=num[i])//否则就是有环，直接*2
        ans=(ans<<)%mod;//记得续命
    }
    printf("%lld",ans);//longlong又出锅了
    return ;
}

（完）