算法<初级> - 第一章 排序相关问题

算法<初级> - 第一章

时间复杂度：

• Big O
  
  时间/空间复杂度计算一样，都是跟输入数据源的大小有关

• n->∞

• O(logⁿ)
  
  每次只使用数据源的一半，logⁿ同理

• 最优解
  
  先满足时间复杂度的情况最优情况下使用最小空间复杂度

例题：子序列交换

• 题目描述：
  
  输入一个序列，如1234567，在5和6位置处分成两个子序列，12345与67，将两个序列交换输出，如该输出为6712345。
• 思路讲解：

1. 首先将两个子序列逆序合并
2. 逆序：左右两指针交换元素值直至中间
   
   逆序空间复杂度：O(1)
3. 再将生成的新序列逆序，得到输出结果
4. 时间复杂度：O(n)

• 演示：
  • 子逆序合并：
    
    12345 67
    
    54321 76 —> 5432176
  • 整体逆序：
    
    6432175 —> 6732145 —> 6712345
  • 完成√

排序-冒泡排序

• 思想

  • 序列相邻两元素进行比较

• 演示(升序)

  • 第一轮：
    
    确定最大值/最后一位：
    
    147523689 —> 147523689 —>
    
    147523689 —> 145723689 —>
    
    145273689 —> 145237689 —>
    
    145236789 —> 145236789 —>
    
    145236789
  • 第二轮：
    
    确定第二大值/倒数第二位：
    
    145236789 —> 145236789 —>
    
    145236789 —> 142536789 —>
    
    142356789 —> 142356789 —>
    
    145236789 —>
    
    145236789
  • 后面同理；

• 时间复杂度O(n+n-1+n-2...1)=O(n²)

  • 无论好坏

• 算法实现（Java）

public static void bubbleSort(int[] arr) {  //冒泡排序
	if (arr == null || arr.length < 2) {
		return;
	}
	for (int e = arr.length - 1; e > 0; e--) {
		for (int i = 0; i < e; i++) {
			if (arr[i] > arr[i + 1]) {
				swap(arr, i, i + 1);
			}
		}
	}
}

public static void swap(int[] arr, int i, int j) {  //交换
	arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
	arr[j] = arr[i] ^ arr[j];
	arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
}

对数器

验证自我实现算法正确性的方式：与正确算法跑大量同样的测试用例比较结果

• 随机数发射器
  
  用于生成大量随机的测试用例

//随机数发射器
public static int[] generateRandomArray(int maxSize, int maxValue) {
    //Math.random() -> double [0,1)
    //(maxSize + 1) * Math.random() -> [0,size+1] double
    //(int) ((maxSize + 1) * Math.random()) -> [0,size] 整数
    //生成测试用例数组
    int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())];
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
    //随机生成数组中的数(任意方式)
	    arr[i] = (int) ((maxValue + 1) * Math.random()) - (int) (maxValue * Math.random());
	}
	return arr;
}

• 用于快速验证贪心策略的正确性
• 举例：用自我实现的冒泡排序与Java库排序函数进行比较：实现对数器

public static void main(String[] args) {
	int testTime = 500000;
	int maxSize = 100;
	int maxValue = 100;
	boolean succeed = true;
	for (int i = 0; i < testTime; i++) {
		int[] arr1 = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
		int[] arr2 = copyArray(arr1);
		bubbleSort(arr1);
		comparator(arr2);
		if (!isEqual(arr1, arr2)) {
			succeed = false;
			break;
		}
	}
	System.out.println(succeed ? "Nice!" : "Fucking fucked!");

	int[] arr = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
	printArray(arr);
	bubbleSort(arr);
	printArray(arr);
}

public static void comparator(int[] arr) {
	Arrays.sort(arr);
}

public static int[] copyArray(int[] arr) {
	if (arr == null) {
		return null;
	}
	int[] res = new int[arr.length];
	for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
		res[i] = arr[i];
	}
	return res;
}

// for test
public static boolean isEqual(int[] arr1, int[] arr2) {
	if ((arr1 == null && arr2 != null) || (arr1 != null && arr2 == null)) {
		return false;
	}
	if (arr1 == null && arr2 == null) {
		return true;
	}
	if (arr1.length != arr2.length) {
		return false;
	}
	for (int i = 0; i < arr1.length; i++) {
		if (arr1[i] != arr2[i]) {
			return false;
		}
	}
	return true;
}

// for test
public static void printArray(int[] arr) {
	if (arr == null) {
		return;
	}
	for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
		System.out.print(arr[i] + " ");
	}
	System.out.println();
}

排序-选择排序

• 思想
  • 序列各值与标记位置上的值进行比较
• 时间复杂度：O(n²)
  • 无论好坏
• 算法实现（Java）

public static void selectionSort(int[] arr) {
	if (arr == null || arr.length < 2) {
		return;
	}
	for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) {
		int minIndex = i;
		for (int j = i + 1; j < arr.length; j++) {
			minIndex = arr[j] < arr[minIndex] ? j : minIndex;
		}
		swap(arr, i, minIndex);
	}
}

排序-插入排序

• 思想
  • 从第二个(1索引)开始，跟自己之前所有比较，根据结果交换，直至停止，再继续循环
• 时间复杂度：O(n²)
  • 最好情况：O(n)
• 算法实现（Java）

public static void insertionSort(int[] arr) {
	if (arr == null || arr.length < 2) {
		return;
	}
	for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
		for (int j = i - 1; j >= 0 && arr[j] > arr[j + 1]; j--) {
			swap(arr, j, j + 1);
		}
	}
}

排序-归并排序

• 思想
  • 递归
    
    计算机内栈实现-现场保存变量压栈
    
    先进后出-保证子递归值返回给父递归
    
    递归终止条件：base case
  • mergeSort()：递归
    • 如果序列len1，或者左右，则返回 （base case）
    • 序列分成左右两个子序列，对两个子序列对其调用归并排序使之有序（递归）
      
      取中间数方法：(L+R)/2 (L+R)>>1 L+(R-L)/2 —>(防溢出)
  • merge()：合并 （又称外排）
    • 两个指针子序列头开始，左小放左，右小放右（针对有序序列的排序合并）
    • 当某边为空(越界)时，另一边剩下直接放
• 演示
  • 74583291 —> 7458 3291 —>
    
    74 58 32 91 —> 7 4 5 8 3 2 9 1—>
    
    47 58 23 19 —> 4578 1239
  • 完成√
• 时间复杂度：O(N* log^N)
  
  T(n)=2T(n/2)+O(N) T(n)递归复杂度 O(N)除递归外复杂度
  • 空间复杂度：O(N)
    • 针对空间复杂度的优化 - 归并排序的内部缓存法 — 空间复杂度O(1)
    • 原地归并排序 — 空间复杂度O(1) 时间复杂度却是O(N2)
  • Master公式：计算递归类算法的时间复杂度公式
    • [补充阅读]
    • T(n)=aT(n/b)+O(N^d)
    • 若log_b^a > d：
      
      时间复杂度：O(N^log_ba)
    • 若log_b^a < d：
      
      时间复杂度：O(N^d)
    • 若log_b^a = d：
      
      时间复杂度：O(N^d* log^N)
• 非递归版本思想
  
  + 每相邻序列之间进行外排
• 算法实现（Java）

public static void mergeSort(int[] arr) {
	if (arr == null || arr.length < 2) {
		return;
	}
	mergeSort(arr, 0, arr.length - 1);
}

public static void mergeSort(int[] arr, int l, int r) {
	if (l == r) {
		return;
	}
	int mid = l + ((r - l) >> 1);
	mergeSort(arr, l, mid);
	mergeSort(arr, mid + 1, r);
	merge(arr, l, mid, r);
}

public static void merge(int[] arr, int l, int m, int r) {
	int[] help = new int[r - l + 1];
	int i = 0;
	int p1 = l;
	int p2 = m + 1;
	while (p1 <= m && p2 <= r) {
		help[i++] = arr[p1] < arr[p2] ? arr[p1++] : arr[p2++];
	}
	while (p1 <= m) {
		help[i++] = arr[p1++];
	}
	while (p2 <= r) {
		help[i++] = arr[p2++];
	}
	for (i = 0; i < help.length; i++) {
		arr[l + i] = help[i];
	}
}

例题：小和问题

• 题目表述

对于某序列，将各个元素 左边比之小的数相加 ，求和各个元素的如此操作的值，称为小和，返回小和的值。

• 暴力求解
  
  遍历-遍历
  
  时间复杂度：O(n²)
• 归并排序求解
  • 归并代码
  • 小和产生在外排“左小放左，右小放右”的过程中（左右组间产生小和）
  • 当外排比较时，此时两边都是有序序列
    • 若左小，则右边产生小和，小和值为
      
      （左值 * 右边未放下序列的个数）
    • 若右小，则照旧进行

res+=arr[p1] < arr[p2] ? (r-p2+1) * arr[p1] : 0 ;

• 演示
  
  413506 —> 413 506 —>
  
  41 3 50 6 —> 4 1 3 5 0 6 —>
  
  41外排(不产生小和) 3外排 50外排(不产生小和) 6外排 —>
  
  14 3外排 05 6外排 —>

  • 14 3产生小和：1*3=3
  • 05 6产生小和：01+51=5

  134 056外排产生小和：1 * 2+3 * 2+5 * 2=18
  
  所以最终小和=3+5+18=26

排序-快速排序

经典快排（partition）

• 取最后一个数做基准
• 设一个 小于区 ，边界索引为-1 （大于区同理）
• 开始遍历序列
  • 若元素小于(等于)基准，则将该元素与 边界索引+1 的位置交换，并将边界索引设置为 交换后该元素位置索引 —>等于是为了将最后位置的基准放到中间区
  • 若元素大于基准，则继续遍历下一个元素
• 演示
  • 0351674 —> 0351674（边界-1）—>
  • 0351674（边界0）—> 0351674 (边界1) —>
  • 0351674 (边界1) —> 0351674 (边界2) —>
  • 0315674（边界2）—> 0315674 (边界2) —>
  • 0315674(边界3) —> 0314675
• 算法实现（Java）

public static int[] partition(int[] arr, int l, int r) {
	int less = l - 1;
	int more = r;
	while (l < more) {
		if (arr[l] < arr[r]) {
			swap(arr, ++less, l++);
		} else if (arr[l] > arr[r]) {
			swap(arr, --more, l);
		} else {
			l++;
		}
	}
	swap(arr, more, r);
	return new int[] { less + 1, more };
}

例题：荷兰国旗问题

• 题目表述
  
  给定一个整数数组，给定一个值K，这个值在原数组中一定存在，要求把数组中小于K的元素放到数组的左边，大于K的元素放到数组的右边，等于K的元素放到数组的中间，最终返回一个整数数组，其中只有两个值，分别是等于K的数组部分的左右两个下标值。
• 实际上就是一个经典快排的改编（大于区+小于区）
  • 一开始基准归于大于区，大于区判定完后判定小于区，等于不进行操作继续遍历，遍历完后大于区边界与基准交换位置。

随机快排

• 思想
  • 随机选择序列中一个数，首先将其跟序列最后一个数进行交换，然后对该序列进行一次partition经典快排，返回 小于区边界与大于区边界索引
  • 之后对 （序列左边界 - 小于区边界-1） 和 （大于区边界+1 - 序列右边界） 进行随机快排调用递归
  • 终止条件basecase：L>=R时，返回该序列
• 时间复杂度
  • 概率长期期望O(Nlog^N)：实际工程非常好，因为排序常数项很少
  • 最优O(Nlog^N)
  • 最差O(N²)：每次随机基准选择都是序列最值
  • 空间复杂度 O(log^N)：记录每次的排序完后基准位置
• 算法实现（Java）

public static void quickSort(int[] arr) {
	if (arr == null || arr.length < 2) {
		return;
	}
	quickSort(arr, 0, arr.length - 1);
}

public static void quickSort(int[] arr, int l, int r) {
	if (l < r) {
		swap(arr, l + (int) (Math.random() * (r - l + 1)), r);
		int[] p = partition(arr, l, r);
		quickSort(arr, l, p[0] - 1);
		quickSort(arr, p[1] + 1, r);
	}
}

排序稳定性

• 概念
  
  无序序列排成有序序列后，位置相对次序保持不变 —> 排序算法具有稳定性

• 可以实现稳定性版本的排序算法
  
  冒泡排序 - 插入排序 - 归并排序

• 不可以实现稳定性版本的排序算法
  
  选择排序 - 快速排序（01stable sort可以实现稳定性）

面试坑题：按奇偶划分左右-次序不变

• 题目表述
  
  一个序列，将序列中奇数放在左边，偶数放在右边，且保证奇偶数子序列次序不变，返回新序列，要求额外空间复杂度O(1)

• 实际上是一个0-1博弈，对一个元素的判定非0即1

• 大小 / 奇偶 都是0-1博弈的一种判定机制而已

• 结合题目，实际上就是问实现 稳定性版本快排问题 —— 着重点就是次序不变

• 要求 01stable sort论文级别算法 - 面试坑题

排序-堆排序

• 堆结构

  • 堆是一棵完全二叉树（数组可以对应完全二叉树/堆结构）
    • N结点，高度=log^N
  • i结点：左孩子结点2i+1 / 右孩子结点2i+2 / 父亲结点(i-1)/2 （地板除）

• 大根堆：堆每棵子树的头节点都是最大值（小根堆同理）

  • Java中优先队列默认是由小根堆构成，可以用比较器自定义优先级

• 堆构造大根堆算法：heapinsert()过程

  • 经常用于解其他堆类题目
  1. 遍历每个数
  2. 与其父节点（(i-1)/2）进行比较，如果大于父节点，则两个进行交换；交换后再与新父节点进行比较，直至停止（while）
  3. 遍历完后堆就变成了大根堆，小根堆构造同理
  4. 大根堆构造完后，形成上大下小的结构，但是无序

for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
	heapInsert(arr, i);
}

public static void heapInsert(int[] arr, int index) {
	while (arr[index] > arr[(index - 1) / 2]) {
		swap(arr, index, (index - 1) / 2);
		index = (index - 1) / 2;
	}
}

• 大根堆有序化算法：heapify()过程
  1. 先将大根堆头节点跟最后一个结点交换（最大值固定，size-1）
  2. 遍历除最后结点外所有的节点
  3. 如果小于子节点最大值，则与最大值位置进行交换；交换后再与新子节点进行比较，直至停止（while）
  4. 遍历完后堆就变成了从小到大的有序堆 - 堆排序

int size = arr.length;
swap(arr, 0, --size);
while (size > 0) {
	heapify(arr, 0, size);
	swap(arr, 0, --size);
}

public static void heapify(int[] arr, int index, int size) {
	int left = index * 2 + 1;
	while (left < size) { //左边不越界
		int largest = left + 1 < size && arr[left + 1] > arr[left] ? left + 1 : left; //找到两个孩子中最大的；如果只有一个左孩子，就返回左孩子
		largest = arr[largest] > arr[index] ? largest : index; //孩子最大值与自己比较
		if (largest == index) {	//自己节点最大
			break;
		}
		swap(arr, largest, index);
		index = largest;
		left = index * 2 + 1;
	}
}

• 堆排序两个过程
  • 调整堆向上走：heapinsert
  • 调整堆向下走：heapify
  • 堆 - 大根堆 - 有序堆
• 时间复杂度：
  • 建立大根堆时间复杂度：log1+log2+..logN=O(N）
  • 调整大根堆时间复杂度：O(Nlog^N)
  • 工程效果不好，原因常数项操作太多

Java_Arrays库 - Arrays.sort()系统排序

• Arrays.sort(arr)
  • 当arr.size<60左右时，后台使用的是insertion_sort
    
    原因插入排序常数项很少，在数据项少时使用效果很好
  • 当arr.size>60左右时，后台使用的是merge_sort和quick_sort
    • 当数据类型是int / char / double时，后台用quick_sort
    • 当数据类型是自定义数据类型时，后台默认用merge_sort（可以使用自定义比较器）
    • 两者区别使用的原因：排序稳定性
      • 基础类型不要求稳定性，只要求快（常数项比merge_sort少）
      • 自定义类型要求排序稳定性，现实世界有原始数据次序往下传的需求

比较器

• 对两个或多个数据项进行比较，以确定它们是否相等，或确定它们之间的大小关系及排列顺序称为比较。 能够实现这种比较功能的电路或装置称为比较器。

• 定义比较器 / 重新定义比较函数

  • 其中一种继承Comparator接口的比较器实现方法

public static class IdDescendingComparator implements Comparator<Student> {

    @Override    //传入student类
	public int compare(Student o1, Student o2) {   //比较student类中的id属性
		return o2.id - o1.id;  //return>0,则第一个参数排序在前；否则第二个参数排序在前
	}
}

Arrays.sort(students, new IdAscendingComparator());
		printStudents(students);

排序-桶排序

• 与之前的算法不同，排序过程与比较无关，基于数据状况（数据唯一值越少越好）
• 思想（桶排序是一种思想）
  • 数据序列N个，唯一数据种类n个，准备n个容器
  • 遍历数据，放入对应数据类容器
  • 遍历完后再将容器倒出，排序完成
• 时间复杂度：O(N)，空间复杂度：O(N)
  • 可以用桶排序去减少时间开销，当空间内存富裕的时候
• 常见的两种桶排序方法
  • 计数排序
  • 基数排序
• 算法实现（Java）

public static void bucketSort(int[] arr) {       //计数排序实现的桶排序
	if (arr == null || arr.length < 2) {
		return;
	}
	int max = Integer.MIN_VALUE;
	for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
		max = Math.max(max, arr[i]);
	}
	int[] bucket = new int[max + 1];
	for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
		bucket[arr[i]]++;
	}
	int i = 0;
	for (int j = 0; j < bucket.length; j++) {
		while (bucket[j]-- > 0) {
			arr[i++] = j;
		}
	}
}

计数排序

• 生成0-max索引的数组
• 遍历序列，遇到某值则数组某值索引++
• 遍历数组，有多少数则返回多少个对应索引值

例题：最大相邻数差

• 题目表述

  • 输入一个无序数组，元素long类型，正负0都可以；输出有序后相邻两元素之间的最大差值，要求时间复杂度O(N)

• 思想

  • 不使用正常排序，想到桶排序，因为时间复杂度O(N)；也不适用计数排序，因为元素状况
  • 数组个数N个，准备N+1个桶，将该数组中最小-最大值范围等分成N+1份，对应N+1个桶
  • 将数组元素根据划分范围放入桶中，最小桶和最大桶一定不为空，中间桶一定有一个空桶
  • 核心：
    • 离空桶左右最近的两个桶，左桶的最大值跟右桶的最小值，一定相邻，并且差值一定>=一个桶的范围；所以，我们不用关心一个桶内部相邻情况，只需要知道空桶左右最值相差情况。
  • 所以在数据放入桶的时候，只需要记录桶的最大值/最小值，其他值都不需要存储，遍历完后将找到所有空桶，比较各空桶相邻的两数差即可

• 演示

  • 3150(-9)8(0.5) 范围(-9 - 8)等分成(7+1)份 有8个桶
  • -9 空 空 空 0,0.5,1 3 5 8
  • 只保留各个桶的最值情况，找到空桶(连续空桶可以跳过），比较空桶相邻两数差

• 算法过程

  1. boolean min max数组各n+1个元素（建桶）
  2. 序列元素进桶，记录桶号
  3. boolean设置true，比较该桶最大小值
  4. 遍历每一个非空桶，用（上一桶的最大值-本桶的最小值）与全局比较，得到结果

public static int maxGap(int[] nums) {
		if (nums == null || nums.length < 2) {
			return 0;
		}
		int len = nums.length;
		int min = Integer.MAX_VALUE;
		int max = Integer.MIN_VALUE;
		for (int i = 0; i < len; i++) {
			min = Math.min(min, nums[i]);
			max = Math.max(max, nums[i]);
		}
		if (min == max) {
			return 0;
		}
		boolean[] hasNum = new boolean[len + 1];  //建桶
		int[] maxs = new int[len + 1];
		int[] mins = new int[len + 1];
		int bid = 0;
		for (int i = 0; i < len; i++) {
			bid = bucket(nums[i], len, min, max);    //放桶
			mins[bid] = hasNum[bid] ? Math.min(mins[bid], nums[i]) : nums[i];   //更新
			maxs[bid] = hasNum[bid] ? Math.max(maxs[bid], nums[i]) : nums[i];
			hasNum[bid] = true;
		}
		int res = 0;
		int lastMax = maxs[0];
		int i = 1;
		for (; i <= len; i++) {     //得到结果
			if (hasNum[i]) {
				res = Math.max(res, mins[i] - lastMax);
				lastMax = maxs[i];
			}
		}
		return res;
	}

	public static int bucket(long num, long len, long min, long max) {
		return (int) ((num - min) * len / (max - min));
	}