POJ 2409 Let it Bead(polya裸题)
题目传送:http://poj.org/problem?id=2409
Description
A bracelet is a ring-like sequence of s beads each of which can have one of c distinct colors. The ring is closed, i.e. has no beginning or end, and has no direction. Assume an unlimited supply of beads of each color. For different values of s and c, calculate the number of different bracelets that can be made.
Input
Output
Sample Input
1 1
2 1
2 2
5 1
2 5
2 6
6 2
0 0
Sample Output
1
2
3
5
8
13
21
启发博客:http://blog.csdn.net/sr_19930829/article/details/38108871
polya定理看的我好累。。总算是在理解的基础上敲出一道裸题
关键就是在循环节个数和长度以及置换群个数的理解上
1.旋转。
环每次顺时针如果旋转i格,那么每循环lcm(n,i)个可以回到原来的状态。
每次旋转i个,所以循环节长度为lcm(n,i)/i。
由此推出循环节个数为n/(lcm(n,i)/i)即gcd(n,i)。
由polya定理可得染色方案为 ∑c^gcd(n,i) 其中 i=1,2,3,4,....n,置换群个数有n个
2.翻转。
这里得考虑两种情况,循环节长度为3,即珠子本身和翻转对应的那一颗。置换群个数有n个。
当n为奇数时,共有n个循环节个数为(n/2+1)的循环群,染色方案为 n*c^(n/2+1)
当n为偶数时,共有n个循环群,其中有n/2个的循环节个数为(n/2 +1), 有n/2个的循环节个数为(n/2)。 染色方案分别为 (n/2)*c^(n/2+1)以及(n/2)*c^(n/2)。
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
using namespace std; long long gcd(long long b,long long c)//计算最大公约数
{
return c==?b:gcd(c,b%c);
} long long quick_mod(long long a,long long b)//快速幂,复杂度log2n
{
long long ans=;
while(b)
{
if(b&)
{
ans=(ans*a);
b--;
}
b/=;
a=a*a;
}
return ans;
} int main()
{
int c,s;
long long res;
while(~scanf("%d%d",&c,&s)&&(c+s))
{
res=;
//翻转
for(int i=;i<=s;i++)
res+=quick_mod(c,gcd(s,i));
//旋转
if(s%!=)
res+=s*quick_mod(c,s/+);
else
res+=s/*quick_mod(c,s/+)+s/*quick_mod(c,s/);
res/=*s;
printf("%lld\n",res);
}
return ;
}
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