LA3641 Leonardo's Notebook

题意

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分析

给出一个26个大写字母的置换B，是否存在A^2 = B

每个置换可以看做若干个循环的乘积。我们可以把这些循环看成中UVa 10294的项链， 循环中的数就相当于项链中的珠子。

A^2就相当于将项链旋转了两个珠子间的距离，珠子0、2、4...构成一个循环，一共有gcd(n, 2)个循环，每个循环的长度为n / gcd(n, 2)

所以当一个循环的长度为奇数的时候，平方以后还是原来的长度；

当一个循环的长度为偶数的时候，平方以后就会分解为两个长度都等于原来循环长度一半的循环。

先将置换B分解循环，对于其中长度为奇数2k+1的循环，可以通过相同长度2k+1的循环平方后从A^2中得到，也可能是2(2k+1)分解出两个2k+1的循环。

但是对于长度为偶数2k的循环来说，一定是由长度为4k的循环平方后分解出来的。

所以如果存在置换A满足A^2 = B，则B中长度为偶数的循环节一定为偶数。

时间复杂度\(O(T\times SIZE)\)

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define il inline
#define co const
template<class T>il T read(){
    rg T data=0,w=1;rg char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)) data=data*10+ch-'0',ch=getchar();
    return data*w;
}
template<class T>il T read(rg T&x) {return x=read<T>();}
typedef long long ll;
co int N=27;
char B[N];
int vis[N],cnt[N],T;
int main(){
//	freopen(".in","r",stdin),freopen(".out","w",stdout);
	read(T);
	while(T--){
		scanf("%s",B);
		memset(vis,0,sizeof vis);
		memset(cnt,0,sizeof cnt);
		for(int i=0,j,n;i<26;++i)if(!vis[i]){
			j=i,n=0;
			do vis[j]=1,j=B[j]-'A',++n;
			while(j!=i);
			++cnt[n];
		}
		int ok=1;
		for(int i=2;i<=26;i+=2)
			if(cnt[i]&1) {ok=0;break;}
		puts(ok?"Yes":"No");
	}
	return 0;
}