[问题2014S01] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第一教学周）

问题2014S01  设 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 是次数等于 2 的 \(n\) 元实系数多项式, \(S\) 是使得 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 达到最大值或最小值的点的集合, 即 \(S=\{(b_1,b_2,\cdots,b_n)\in\mathbb{R}^n\,|\) \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\leq\)\(f(b_1,b_2,\cdots,b_n)\), \(\forall\,(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^n\}\)\(\cup\)\(\{(b_1,b_2,\cdots,b_n)\in\mathbb{R}^n\,|\) \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\geq\)\(f(b_1,b_2,\cdots,b_n)\), \(\forall\,(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^n\}\). 假设 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 是关于未定元 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 的对称多项式并且 \(S\) 为有限非空集合, 证明: 存在 \(b\in\mathbb{R}\) 使得 \[S=\{(b,b,\cdots,b)\}.\]

例  以下总是假设 \(n\geq 2\).

(1) \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x_1^2\) 不是 \(n\) 元对称多项式, \(S=\{(0,b_2,\cdots,b_n)\in\mathbb{R}^n\}\) 是一个无限集, 此时上述问题的结论不成立.

(2) \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=(x_1+x_2+\cdots+x_n)^2\) 是对称多项式, 但 \(S=\{(b_1,b_2,\cdots,b_n)\in\mathbb{R}^n\,|\) \(b_1+b_2+\cdots+b_n=0\}\) 是无限集, 此时上述问题的结论不成立.

(3) \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\), \(S=\{(0,0,\cdots,0)\}\), 此时上述问题的结论成立.

注  上述问题改编自13级某位同学问我的非正式问题。他说：“高中老师说，对称多项式达到最大值或最小值的点一定形如 \((b,b,\cdots,b)\) 。”上面的例(2)告诉我们，他的高中老师说的是不对的，至少还差了条件，上述问题就是考虑了次数等于2的情形。问题的证明还是有一定难度的，希望大家能踊跃尝试各种方法进行解答。