【bzoj1042】 HAOI2008—硬币购物

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1042 (题目链接)

题意

　　共有4种硬币，面值分别为c1,c2,c3,c4。某人去商店买东西，去了tot次。每次带di枚ci硬币，买s的价值的东西。请问每次有多少种付款方法。

Solution

　　容斥原理。

　　设F[i]为不考虑每种硬币的数量限制的情况下，得到面值i的方案数。则状态转移方程为 F[i]=Sum{F[i-C[k]] | i-C[k]>=0 且 k=1..4} ，边界条件F[0]=0。

　　接下来对于每次询问，奇妙的解法如下：根据容斥原理，答案为 得到面值S的超过限制的方案数 – 第1种硬币超过限制的方案数 – 第2种硬币超过限制的方案数 – 第3种硬币超过限制的方案数 – 第4种硬币超过限制的方案数 + 第1,2种硬币同时超过限制的方案数 + 第1,3种硬币同时超过限制的方案数 + …… + 第1,2,3,4种硬币全部同时超过限制的方案数。

　　当第1种硬币超过限制时，只要要用到D[1]+1枚硬币，剩余的硬币可以任意分配，所以方案数为 F[ S – (D[1]+1)×C[1] ]，当且仅当(S – (D[1]+1)×C[1])>=0，否则方案数为0。其余情况类似，每次询问只用问16次，所以询问的时间复杂度为O(1)。

　　hzwer终于写了次题解，于是我就直接蒯了。

代码

// bzoj1042
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<map>
#define inf 2147483640
#define LL long long
#define free(a) freopen(a".in","r",stdin);freopen(a".out","w",stdout);
using namespace std;
inline LL getint() {
    LL x=0,f=1;char ch=getchar();
    while (ch>'9' || ch<'0') {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

int c[5],d[5],s,tot;
LL ans,f[100010];

void dfs(int x,int k,int sum) {
    if (sum<0) return;
    if (x==5) {
        if (k&1) ans-=f[sum];
        else ans+=f[sum];
        return;
    }
    dfs(x+1,k+1,sum-(d[x]+1)*c[x]);
    dfs(x+1,k,sum);
}
int main() {
    scanf("%d%d%d%d%d",&c[1],&c[2],&c[3],&c[4],&tot);
    f[0]=1;
    for (int i=1;i<=4;i++)
        for (int j=c[i];j<=100000;j++) f[j]+=f[j-c[i]];
    for (int i=1;i<=tot;i++) {
        scanf("%d%d%d%d%d",&d[1],&d[2],&d[3],&d[4],&s);
        ans=0;
        dfs(1,0,s);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}