HDU 1565 最大点权独立集

首先要明白图论的几个定义：

点覆盖、最小点覆盖：

　　点覆盖集即一个点集，使得所有边至少有一个端点在集合里。或者说是“点” 覆盖了所有“边”。。

最小点覆盖(minimum vertex covering)：

　　点最少的点覆盖。

点覆盖数(vertex covering number)：

　　最小点覆盖的点数。

独立集：

　　独立集即一个点集，集合中任两个结点不相邻，则称V为独立集。或者说是导出的子图是零图（没有边）的点集。

最大独立集(maximum independent set)：

　　点最多的独立集。

独立数(independent number)：

　　最大独立集的点。

若把上面最小点覆盖和最大独立集中的端点数改成点的权值，分别就是最小点权覆盖和最大点权独立集的定义。

然后通过推导，我们可以证明一下公式：（具体证明请看胡伯涛《最小割模型在信息学竞赛中的应用》，这里只考虑应用）

最大点权独立集=总权值-最小点权覆盖集。

最小点权覆盖集=图的最小割值=最大流。

这道题很明显就是求最大点权独立集，所以直接套用公式即可。

建图：如果S与(i+j)%2==0的点相连，(i+j)%2==1的点与T相连，容量为该点的权值。(i+j)%==0与(i+j)%2==1的点相连，容量为无限大。

代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=;
const int M=N*N;
int h[N],gap[N],head[N];
int cnt,n,m,s,t;
int a[N][N];
struct node
{
    int v,c,next;
}e[M];
 
void init()
{
    memset(head,-,sizeof(head));
    cnt=;
}
void add(int u,int v,int w)
{
    e[cnt].v=v,e[cnt].c=w;
    e[cnt].next=head[u];head[u]=cnt++;
    e[cnt].v=u,e[cnt].c=;
    e[cnt].next=head[v];head[v]=cnt++;
}
int dfs(int u,int flow)
{
    if(u==t)    return flow;
    int c=flow,a,i,v,minh=t;
    for(i=head[u];i!=-;i=e[i].next)
    {
        if(e[i].c)
        {
            v=e[i].v;
            if(h[v]==h[u]-)
            {
                a=min(c,e[i].c);
                a=dfs(v,a);
                e[i].c-=a;
                e[i^].c+=a;
                c-=a;
                if(h[s]>t)  return flow-c;
                if(!c)  break;
            }
            minh=min(minh,h[v]);
        }
    }
    if(c==flow)
    {
        if(--gap[h[u]]==)    h[s]=t+;
        h[u]=minh+;
        ++gap[h[u]];
    }
    return flow-c;
}
int isap()
{
    memset(gap,,sizeof(gap));
    memset(h,,sizeof(h));
    int ans=;gap[]=t+;
    while(h[s]<=t)
        ans+=dfs(s,INF);
    return ans;
}
 int main()
 {
     int i,j,sum;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        sum=;init();s=,t=n*n+;
        for(i=;i<=n;i++)
        {
            for(j=;j<=n;j++)
            {
                scanf("%d",&a[i][j]);
                sum+=a[i][j];
                if((i+j)%==)
                {
                    add(s,(i-)*n+j,a[i][j]);
                    if(i>)    add((i-)*n+j,(i-)*n+j,INF);
                    if(j>)    add((i-)*n+j,(i-)*n+j-,INF);
                    if(i<n)    add((i-)*n+j,(i)*n+j,INF);
                    if(j<n)    add((i-)*n+j,(i-)*n+j+,INF);
                }
                else
                    add((i-)*n+j,t,a[i][j]);
            }
        }
        printf("%d\n",sum-isap());
    }
     return ;
 }