Codeforces 912D - Fishes

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本题是一个概率问题——求数学期望。

在一个n×m的方格中，有k个“*”。每个格子里可能有0~1个“*”。现有一个r×r的网，将网随机投入方格中，求解：网内“*”个数的数学期望的最大值。

首先考虑所求的数学期望：

枚举所有的投网方式，则对于方格的任意格子(x,y)，均可以定义其被网覆盖的次数cnt(x,y)。

若第i个“*”的位置为(x_i,y_i)，则此网覆盖第i个“*”的次数为cnt(x_i,y_i)，则所求期望为：$ans=\frac{\sum_{i=1}^{k} {cnt(x_i , y_i)}}{tot}$。其中，tot为投网的方法数，tot=(n-r+1)(m-r+1)。

这个问题的关键在于：求解一种“*”在方格内的放置方法，使得所求期望最大。

于是，可以考虑从方格中间的位置出发，通过BFS，寻找“*”的位置。于是，为BFS构造一个队列。由于本题需要求解最大值，所以每一次，均取cnt值最大的点作为当前步搜索的起点（于是这里用到优先队列std::priority_queue）。一步搜索向周围（U/D/L/R）推进一个格子。同时，应维护vis(x,y)，即点(x,y)是否被访问（根据本题的数据范围，请使用std::map）。进行k步搜索，每一步确定一个“*”的坐标。

参考程序如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
int n, m, r, k;
priority_queue<pair<int64_t, int64_t> > q;
map<int64_t, bool> vis;
 
int64_t pair2int(pair<int, int> p)
{
    return 1LL * m * p.first + p.second;
}
 
pair<int, int> int2pair(int64_t p)
{
    return make_pair(p / m, p % m);
}
 
int64_t cnt(pair<int, int> p)
{
    int x = p.first;
    int y = p.second;
    int dx = min(n, x + r) - max(r - , x);
    int dy = min(m, y + r) - max(r - , y);
    return 1LL * dx * dy;
}
 
int main(void)
{
    scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &r, &k);
    pair<int, int> s = make_pair(n / , m / );
    q.push(make_pair(cnt(s), pair2int(s)));
    vis[pair2int(s)] = true;
    int64_t sum = 0LL;
    int64_t tot = 1LL * (n - r + ) * (m - r + );
    int dx[] = {-, , , };
    int dy[] = {, , -, };
    while (k--) {
        sum += q.top().first;
        pair<int, int> cur = int2pair(q.top().second);
        q.pop();
        for (int i = ; i < ; i++) {
            int x = cur.first + dx[i];
            int y = cur.second + dy[i];
            if (x <  || x >= n || y <  || y >= m) continue;
            pair<int, int> p = make_pair(x, y);
            if (vis[pair2int(p)]) continue;
            q.push(make_pair(cnt(p), pair2int(p)));
            vis[pair2int(p)] = true;
        }
    }
    double ans = 1.0 * sum / tot;
    printf("%.10f\n", ans);
    return ;
}