Codeforces 912D - Fishes
传送门:http://codeforces.com/contest/912/problem/D
本题是一个概率问题——求数学期望。
在一个n×m的方格中,有k个“*”。每个格子里可能有0~1个“*”。现有一个r×r的网,将网随机投入方格中,求解:网内“*”个数的数学期望的最大值。
首先考虑所求的数学期望:
枚举所有的投网方式,则对于方格的任意格子(x,y),均可以定义其被网覆盖的次数cnt(x,y)。
若第i个“*”的位置为(xi,yi),则此网覆盖第i个“*”的次数为cnt(xi,yi),则所求期望为:$ans=\frac{\sum_{i=1}^{k} {cnt(x_i , y_i)}}{tot}$。其中,tot为投网的方法数,tot=(n-r+1)(m-r+1)。
这个问题的关键在于:求解一种“*”在方格内的放置方法,使得所求期望最大。
于是,可以考虑从方格中间的位置出发,通过BFS,寻找“*”的位置。于是,为BFS构造一个队列。由于本题需要求解最大值,所以每一次,均取cnt值最大的点作为当前步搜索的起点(于是这里用到优先队列std::priority_queue)。一步搜索向周围(U/D/L/R)推进一个格子。同时,应维护vis(x,y),即点(x,y)是否被访问(根据本题的数据范围,请使用std::map)。进行k步搜索,每一步确定一个“*”的坐标。
参考程序如下:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std; int n, m, r, k;
priority_queue<pair<int64_t, int64_t> > q;
map<int64_t, bool> vis; int64_t pair2int(pair<int, int> p)
{
return 1LL * m * p.first + p.second;
} pair<int, int> int2pair(int64_t p)
{
return make_pair(p / m, p % m);
} int64_t cnt(pair<int, int> p)
{
int x = p.first;
int y = p.second;
int dx = min(n, x + r) - max(r - , x);
int dy = min(m, y + r) - max(r - , y);
return 1LL * dx * dy;
} int main(void)
{
scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &r, &k);
pair<int, int> s = make_pair(n / , m / );
q.push(make_pair(cnt(s), pair2int(s)));
vis[pair2int(s)] = true;
int64_t sum = 0LL;
int64_t tot = 1LL * (n - r + ) * (m - r + );
int dx[] = {-, , , };
int dy[] = {, , -, };
while (k--) {
sum += q.top().first;
pair<int, int> cur = int2pair(q.top().second);
q.pop();
for (int i = ; i < ; i++) {
int x = cur.first + dx[i];
int y = cur.second + dy[i];
if (x < || x >= n || y < || y >= m) continue;
pair<int, int> p = make_pair(x, y);
if (vis[pair2int(p)]) continue;
q.push(make_pair(cnt(p), pair2int(p)));
vis[pair2int(p)] = true;
}
}
double ans = 1.0 * sum / tot;
printf("%.10f\n", ans);
return ;
}
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