JZOJ5787轨道（容斥+DP）

JZOJ5787轨道

Description

2018年1月31日，152年一遇的超级大月全食在中国高空出现（没看到的朋友真是可惜），小B看到月食，便对月球的轨道产生了兴趣。他上网查重力加速度的公式，公式如下：

aaarticlea/png;base64,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" alt=" " />
就在这个时候，他想到了一个跟这个差不多的问题，那就是对于以下公式：
aaarticlea/png;base64,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" alt=" " />
已知n和k，求这n个正整数在都不大于m的情况下有多少种选择方式，使得v为与k互质正整数？
 

Input

一行三个正整数n,m,k（意义见题目描述）。

Output

输出一个答案，代表方案数。因为答案可能会很大，所以输出方案数mod 10007的值。

Data Constraint

数据范围
对于20%的数据 1<=n,m<=8 k<=100
对于40%的数据 1<=n<=50 1<=m<=10^6 1<=k<=10^4
对于70%的数据 1<=n<=100 1<=m<=10^9 1<=k<=10^7
对于100%的数据 1<=n<=3000 1<=m<=10^9 1<=k<=10^7

题解

模拟赛的题，然后我就GG了

设dp[i][j]为前i个数的乘积与k的gcd是k的第j个约数（且乘积除以公约数与k互质）的方案数。

然后转移方程是dp[i][j]=sigema dp[i-1][k]*dp[1][第j个约数/第k个约数是第几个约数]这里的k是一个枚举的变量。第j个约数可以整除第k个约数。

然后考虑初始化dp[1][...];

dp[1][j]代表的是和1~m中与k的gcd为k的第j个约数的数的数量。

但是枚举绝对会T。

我们其实要求的是gcd(x,k)=第j个约数(1<=x<=m)的方案数。

把公式化一下化为gcd(x.k)=1(1<=x<=m/第j个约数(向下取整)(以后称为m1))的方案数。

然后使用容斥。

怎么用容斥呢，举个例子。

设k的质因数为A,B,C

方案数为m1/1- m1/A - m1/B - m1/C + m1/(A*B) + m1/(B*C) + m1/(A*C) - m1/(A*B*C)

很简单的容斥，仔细想想就能明白。具体实现还是看代码吧。

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 #include<vector>
 #define MOD 10007
 using namespace std;
 int n,m,k,fac[],kpri[],fsf[][],mp[];
 int m1,sum;
 int dp[][];
 void dfs(int cnt,int p_m,int assemble)
 {
     if(cnt>kpri[]) {sum+=m1/assemble*p_m;return;}
     dfs(cnt+,p_m,assemble);
     dfs(cnt+,-p_m,assemble*kpri[cnt]);
 }
 int main()
 {
     scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
     int sqtk=sqrt(k);
     for(int i=;i<=sqtk;i++)
         if(k%i==)
         {
             fac[++fac[]]=i;
             if(k/i>sqtk) fac[++fac[]]=k/i;
         }
     sort(fac+,fac++fac[]);
     int tmp=k;
     for(int i=;i<=sqtk;i++)
     {
         if(tmp==) break;
         if(tmp%i==)
         {
             kpri[++kpri[]]=i;
             while(tmp%i==) tmp/=i;
         }
     }
     if(tmp!=) kpri[++kpri[]]=tmp;
     sort(kpri+,kpri++kpri[]);
     for(int i=;i<=fac[];i++)
     {
         mp[fac[i]]=i;
         sum=,m1=m/fac[i];
         dfs(,,);
         dp[][i]=sum%MOD;
     }
     for(int i=;i<=fac[];i++){
         cout<<dp[][i]<<" ";
     }
     cout<<endl;
     for(int i=;i<=fac[];i++)
         for(int j=;j<=i;j++)
             if(fac[i]%fac[j]==) fsf[i][++fsf[i][]]=j;
     for(int i=;i<=n;i++)
         for(int j=;j<=fac[];j++)
         {
             if(fsf[j][]==) continue;
             for(int k=;k<=fsf[j][];k++)
                 (dp[i][j]+=dp[i-][fsf[j][k]]*dp[][mp[fac[j]/fac[fsf[j][k]]]])%=MOD;
         }
     printf("%d\n",dp[n][fac[]]);
     return ;
 }