Dijkstra算法原理及证明（转）

Dijkstra算法及其证明

算法：

设G是带权图，图中的顶点多于一个，且所有的权都为正数。本算法确定从顶点S到G中其他各个顶点的距离和最短通路。在本算法中P表示带永久标记的顶点的集合。顶点A的前驱是P中的一个顶点，用来标记A。顶点U和V之间的边的权重用W（U，V）表示，如果U和V之间没有边，则记作W(U,V)=∞.

步骤1 （对S做标记）

（a）将S标记为0，并使S没有前驱

（b）令P={S}

步骤2 （对其他顶点作标记）

将每个不在P中的顶点V标记为W(S,V)(可能是暂时的），并使V的前驱为S（可能是暂时的）

步骤3 （扩大P，修改标记）

Repeat

步骤3.1 （是另一个标记永久化）

把不在P中且带有最小标记的顶点U加入到P中去（如果这样的顶点有多个则任选其中一个）

步骤3.2  （修改临时标记）

对每个不在P中并且和U相邻的顶点X，把X的标记替换为下列这两者中的较小者：i)X的旧标记,ii)U上的标记与W（U，X）之和。如果X的标记改变了，则使U成为X的新前驱（可能是暂时的）

Until P包含G中的每一个顶点

步骤4 （求出距离和最短通路）

顶点Y上的标记是从S到Y的距离。如果Y上的标记是∞，那么从S到Y就没有通路，从而

没有最短通路；否则，按照下列序列的逆序使用顶点就构成从S到Y的一条最短通路：

Y，Y的前驱，Y的前驱的前驱，。。。。，直至S

证明：Dijkstra算法给出了从S到G的各个顶点的最短通路长度。

我们假设Ｇ中的每个顶点Ｖ都被赋予了一个标记L(V),它要么是一个数，要么是∞。假设P是G的顶点的集合，P包含S，满足：

1）如果V属于P，则L（V）是从S到V的最短通路的长度，并且存在这样的从S到V的最短通路：通路上的顶点都在P中

2）如果V不属于P，则L(V)是从S到V的满足下面限制的最短通路的长度：V是通路中唯一一个不属于P的顶点。

我们可以用归纳法证明Dijkstra算法中的P符合上述定义的集合：

1）当P中元素个数为1时，P对应算法中的第一步，P={S},显然满足。

2）假设P中元素个数为K时，P满足上述定义，下面看算法的的第三步，

先找出不在P中且带有最小标记的顶点U，标记为L(U), 可以证明从S到U的最短通路中除U外不包含不属于P的元素。

因为若存在除U外其他顶点，则最短通路为SP1P2...PnQ1Q2...QnU(P1,P2..Pn属于P,Q1,Q2,...Qn不属于P),则由性质2）最短通路长度为L(Q1)+PATH(Q1,U)>L(U)

从而大于SP1P2..PnU的通路长度L(U)，不是最短通路，所以从S到U的最短通路中除U外不包含不属于P的元素，从而从S到U的最短通路长度由L(U)给出.

现把U加入P中构成P' ,显然P'满足性质1)。

取V不属于P',显然V也不属于P,那么从S到V的最短通路且满足除V外所有顶点都在P'中的通路有两种可能，i）包含U，ii）不包含U。

对i）SP1P2...PnUV=L(U)+W(U,V)

ii)SP1P2..PnV=L(V)

显然二者中的最小给出了从S到V的最短通路且满足除V外所有顶点都在P'中的长度。

从而算法第三步给出的P'含K+1个元素且满足1),2)。

又归纳，命题得证！