[转]趣题:一个n位数平均有多少个单调区间?---- From Matrix67
考虑这么一个 14 位数 02565413989732 ,如图所示,它的数字先逐渐变大,然后开始变小,再变大,再变小,再变大,再变小。我们就说,它一共包含了 6 个单调区间。我们的问题就是:一个 n 位数平均有多少个单调区间?为了避免歧义,我们假设任意两位相邻的数字都不相同,因而像 77765589911 这样的数我们就不考虑了。另外,大家可能已经注意到了,我们允许这个 n 位数以数字 0 开头。因而,更精确地说,我们的问题是:相邻数字都不相同的、允许以 0 开头的所有 n 位数当中,平均有多少个单调区间?
这个题目来自 1987 年 IMO 候选题。
让我们把所有这种 n 位数的个数记作 N 。那么 N 等于多少?这个 n 位数的第一位有 10 种选择,今后的每一位都只有 9 种选择(因为要跟前一位不一样),因而 n 位数一共有 N = 10 · 9n-1 个。接下来,我们要求的就是,所有 n 位数当中的所有单调区间一共有多少个。我们换一种方法来累计这些单调区间:先算所有从第一位开始的单调区间,再算所有从第二位开始的单调区间,等等,最后算所有从第 n 位开始的单调区间。如果用 ri 来表示所有从第 i 位开始的单调区间的数目,那么我们要求的平均单调区间数就是 (r1 + r2 + … + rn) / N ,也就是 r1 / N + r2 / N + … + rn / N 。注意到其中的每一项 ri / N 其实就是从 N 个合法的 n 位数中任取一个后,存在以第 i 位数打头的单调区间的概率。因此,我们只需要求出这 n 个概率值,加起来便是我们想要的答案了。
显然, r1 / N = 1 ,因为第一位数字必然会引领一个单调区间。显然, rn / N = 0 ,因为最后一位数字不可能引领一个新的单调区间。那么,对于其他的 ri / N 呢?注意到,第 i – 1 位、第 i 位和第 i + 1 位的大小关系一共可能有以下四种情况:
其中,只有第三种情况和第四种情况下,第 i 位才会成为一个新的单调区间的开始。为了计算这两种情况发生的概率,我们只需要算出情况 1 和情况 2 发生的概率,再用 1 来减即可。情况 1 发生的概率有多大呢?三位数字串一共有 10 · 92 个(第一位有 10 种选择,后面的每一位都只有 9 种选择,因为要跟前一位不一样)。为了得到递增的数字串,我们只需要选出三个不同的数字,然后把它们从小到大排列即可,这一共有 C(10, 3) 种方法。因此,情况 1 的发生概率就是 C(10, 3) / (10 · 92) = 4/27 。同理,情况 2 的发生概率也是 4/27 ,两者加起来就是 8/27 ;反过来,情况 3 和情况 4 出现的概率就是 1 – 8/27 = 19/27 了。
因此,我们最终要求的答案就是 1 + 19/27 + 19/27 + … + 19/27 + 0 = 1 + (n – 2) · 19/27 。
这个结论还会引出很多有意思的问题。在一个 29 位数当中,平均会产生 20 个单调区间。我们似乎发现了一个很不合理的地方:这岂不意味着,平均每个单调区间的长度只有 29/20 = 1.45 个数字吗?考虑到单调区间的长度不可能恰好是 1.45 个数字,为了得到 1.45 这个平均长度,一定有些区间的长度比 1.45 小,有些区间的长度比 1.45 大。有些区间的长度比 1.45 小,这不就意味着这些区间的长度为 1 吗?而一个区间的长度显然是不可能为 1 的。怎么回事?
其实, 29/20 = 1.45 这个算式是错的。在这 20 个单调区间中,除了最后一个区间以外,每一个区间的最后一个数与下一个区间的第一个数都是公共的。因此,这个 29 位数当中,有 19 个数被重复使用了。所以,在一个 29 位数当中,单调区间的平均长度应该是 (29 + 19) / 20 = 2.4 。
类似的, n 位数的单调区间的平均长度为 (n + (19/27)(n – 2)) / (1 + (19/27)(n – 2)) = (46n – 38) / (19n – 11) = (46 – 38/n) / (19 – 11/n) 。当 n 无穷大时,其极限为 46/19 。
参考资料:Ross Honsberger, From Erdos to Kiev: Problems of Olympiad Caliber, pp. 29-33
[转]趣题:一个n位数平均有多少个单调区间?---- From Matrix67的更多相关文章
- 将十进制数转为一个n位数的密码(每位都是个m进制数)
例如一个6位数的10进制密码,共有106个密码,如果把每个6位数的密码编成号就是[0,106-1].这是十进制的情况,即6个位,每个位有10种选择.如果要遍历所有密码,需要6重for循环,每个循环10 ...
- 找一个四位数,要求该四位数的四倍刚好是该四位数的反序。 即b1b2b3b4 * 4 = b4b3b2b1
找一个四位数,要求该四位数的四倍刚好是该四位数的反序. 即b1b2b3b4 * 4 = b4b3b2b1 解: 第一步,确认最末位 假设 b1b2b3b4 + b4b3b2b1 = [x0]x1x2x ...
- 题目:打印出所有的 "水仙花数 ",所谓 "水仙花数 "是指一个三位数,其各位数字立方和等于该数本身。例如:153是一个 "水仙花 数 ",因为153=1的三次方+5的三次方+3的三次方。
题目:打印出所有的 "水仙花数 ",所谓 "水仙花数 "是指一个三位数,其各位数字立方和等于该数本身.例如:153是一个 "水仙花 数 ", ...
- HDOJ/HDU 1328 IBM Minus One(水题一个,试试手)
Problem Description You may have heard of the book '2001 - A Space Odyssey' by Arthur C. Clarke, or ...
- PHP生成一个六位数的邀请码
PHP生成一个六位数的邀请码 $unique_no = substr(base_convert(md5(uniqid(md5(microtime(true)),true)), 16, 10), 0, ...
- 水仙花数------"水仙花数 "是指一个三位数,其各位数字立方和等于该数本身。(for循环的嵌套)
package com.zuoye.test;//打印出所有的 "水仙花数 ",所谓 "水仙花数 "是指一个三位数,//其各位数字立方和等于该数本身.//例如: ...
- 一个九位数-python
有一个9位数由1~9的9个数字组成, 每个数字只能出现一次:其第一位能被1整除, 前两位能被2整除, 前三位能被3整除...依次类推,前9位能被9整除.所有的9位数中,只有一个数字满足这些条件,请你输 ...
- Linux 如何查看一个文件夹下面有多少个文件
Linux 如何查看一个文件夹下面有多少个文件 $ tree $ find ./ -type f | wc -l $ ls -l | grep "^-" | wc -l refs ...
- LuoguB2028 反向输出一个三位数 题解
Content 给定一个三位数,请反向输出它. 数据范围:数值在 \(100\) 到 \(999\) 之间. Solution 如果我们把它当做是一个字符串来读入的话,这道题目就很简单了.STL 当中 ...
随机推荐
- IDEA新项目代码上传到gitlab远程仓库
IDEA新项目代码上传到gitlab远程仓库 具体步骤 创建本地仓库 IDEA:VCS-->Import into Version Control-->Create Git Reposit ...
- 微信小程序上传多张图片,及php后台处理
微信小程序上传多张图片,级小程序页面布局直接来代码index.wxml <view class='body' style='width:{{windowWidth}}px;height:{{wi ...
- JavaScript--Array 数组对象
Array 数组对象 数组对象是一个对象的集合,里边的对象可以是不同类型的.数组的每一个成员对象都有一个“下标”,用来表示它在数组中的位置,是从零开始的 数组定义的方法: 1. 定义了一个空数组: v ...
- flask中的蓝图(BluePrint)
蓝图,听起来就是一个很宏伟的东西 在Flask中的蓝图 blueprint 也是非常宏伟的 它的作用就是将 功能 与 主服务 分开怎么理解呢? 比如说,你有一个客户管理系统,最开始的时候,只有一个查看 ...
- 题解报告:hdu 2149 Public Sale(巴什博弈)
题目链接:acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2149 Problem Description 虽然不想,但是现实总归是现实,Lele始终没有逃过退学的命运,因为他没 ...
- html5——DOM扩展
元素获取 1.document.getElementsByClassName ('class') 通过类名获取元素,以类数组形式存在. 2.document.querySelector(‘div’) ...
- JSP学习笔记 - 内置对象 Request
1.主要掌握以下5个内置对象及其所属类,必须学会在java docs里根据类名查找相应的方法 request javax.servlet.http.HttpServletRequest res ...
- Centos6.6 安装nfs网络文件系统
一.介绍 nfs网络文件系统的,大部分用在内网文件共享,比如,对集群上传文件做共享,经常用在图片部分,当然数据量大了还是要做分离,做为专门的接口比较好,介绍一下基本安装环境: 1)Cnetos6.6 ...
- 【转】SSH中 整合spring和proxool 连接池
[摘要:比来做的一个项目中应用到了毗邻池技巧,大概我们人人比拟认识的开源毗邻池有dbcp,c3p0,proxool.对那三种毗邻池来讲,从机能战失足率来讲,proxool轻微比前两种好些.本日我首要简 ...
- Python总结2
时间:25日上午'''列表定义:在[]内,可以存放多个任意类型的值,并以逗号隔开''''students=['sb','2b']print(students[1])student_info=['min ...