Metropolis 采样与蒙特卡洛算法
Metropolis 算法又叫 Metropolis 抽样,是模拟退火算法的基础,在早期的科学计算中蒙特卡洛方法(Monte Carlo)是对大量原子在给定温度下的平衡态的随机模拟,当蒙特卡洛算法计算量偏大。
1953 年,Metropolis 提出重要性采样,即以概率来接受新状态,而不是使用完全确定的规则,称为 Metropolis 准则,可以显著减小计算量。
假设前一状态为 x(n),系统受到一定扰动,状态变为 x(n+1),相应地,系统能量由 E(n) 变为 E(n+1)。 定义系统由 x(n) 变为 x(n+1) 的接收概率为 p(probability of acceptance):
当状态转移之后,如果能量减小了,那么这种转移就被接受了(以概率 1 发生)。如果能量增大了,就说明系统偏离全局最优位置(能量最低点,模拟退火算法所要寻找的就是密度最高能量最低的位置)更远了,此时算法不会立即将其抛弃,而是进行概率判断:首先在区间 [0,1] 产生一个均匀分布的随机数 ε(np.random.rand()),如果 ε<p(p 是前面定义的接受概率),这种转移也将被接受,否则拒绝转移,进入下一步,如此循环。
这正是 Metropolis 算法,其核心思想是当能量增加时以一定概率接收,而不是一味的拒绝;
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