《算法导论》习题解答 Chapter 22.1-6（求universal sink 通用汇点）

思路：设置两个游标i指向行，j指向列，如果arr[i][j]==1,则i=max{i+1,j},j++；如果arr[i][j]==0,则j=max{i+1,j+1}。

伪代码：

has_universal_sink()
        for i=1 to N    //对角线检查是否全是0
            if A[i][i]==1 return false;
	i=1,j=2
	while(i<=N && j<=N)
		if(A[i][j]==1)
                    i=max{i+1,j}
                    j++
		else
                    j=max{i+1,j+1}
        if i<=N
	    if check arr[i][*]=0,arr[*(except i)][i]=1 return true;
	    else return false;
        else
            return false;

命题：如果A[i][j]=0，则j不是通用汇点。

因为A[i][j]=0，说明i到j没有边，而通用汇点的定义是一定要每个点都要有一条指向他的边，因此j不是通用汇点。



命题：如果A[i][j]=1，则i不是通用汇点。

因为A[i][j]=1,所以i到j有一条边，所以i不是通用汇点。



循环不变式：每次迭代前，i之前和j之前但不包括i的点都不是通用汇点。

初始：i=1，j=2，i之前为空，j之前但不包括i的点也为空，因此成立。

保持：在迭代开始时，已知i之前和j之前但不包括i的点都不是通用汇点，当进入循环体后，如果A[i][j]==1，则说明i肯定不是通用汇点，并且已知j之前不包括i的点不是通用汇点，因此i=max{i+1,j},j++后仍然保持不变式；如果A[i][j]==0，则j不是通用汇点，如果j原本小于i，则j要到i+1，因为已知i之前的点肯定不是通用汇点，所以现在仍然保持不变式成立。

终止：如果i<=N,j=N+1，j之前除了i其他点都不是通用汇点，因此需要去全面检查i是不是通用汇点。如果i=N+1,则不需要检查了，没有通用汇点。



命题：如果A[i][j]=1，则j之前的点都不是通用汇点。

命题：如果A[i][j]=0，则i之前的点都不是通用汇点。

输入：

4 3

a c

b c

d c

源代码：

package C22;

import java.io.ObjectInputStream.GetField;

/**
 * 此处提供两种方法，一种是网上的方法，一种是自己想的方法，
 * 经过测试，如果同时执行100000000次，则网上的方法速度是3.6秒，我的方法速度是3秒
 * @author xiazdong
 *
 */
public class C1_6 {
	private static int sink_index = -1;
	public static void main(String[] args) throws Exception {
		Adjacent_Matrix adj_matrix = GraphFactory.getAdjacentMatrixInstance("input\\22.1-6.txt");
		boolean flag = has_universal_sink(adj_matrix);
		if(flag)System.out.println(adj_matrix.getVertexValue(sink_index));
	}
	/**
	 * 自己的方法
	 * @return
	 */
	public static boolean has_universal_sink(Adjacent_Matrix g){
		int i=0,j=0;
		boolean flag = true;
		while(j<=g.getSize()-1){
			if(g.getElement(i, j)==1){
				i = j;
			}
			j++;
		}
		//检查arr[i][*]==0 arr[*(except i)][i]==1
		for(int a=0;a<g.getSize();a++){
			if(g.getElement(i, a)==1&&i!=a){
				flag = false;
			}
			if(g.getElement(a, i)==0&&i!=a){
				flag = false;
			}
		}
		if(flag) sink_index = i;
		return flag;
	}
	/**
	 * 网上的方法
	 * @return
	 */
	public static boolean has_universal_sink2(Adjacent_Matrix g){
		int i=0,j=0;
		boolean flag = true;
		while(j<=g.getSize()-1){
			if(g.getElement(i, j)==1){
				i++;
			}
			else
				j++;
		}
		//检查arr[i][*]==0 arr[*(except i)][i]==1
		for(int a=0;a<g.getSize();a++){
			if(g.getElement(i, a)==1&&i!=a){
				flag = false;
			}
			if(g.getElement(a, i)==0&&i!=a){
				flag = false;
			}
		}
		if(flag) sink_index = i;
		return flag;
	}
}

这边还有一篇跟通用汇点有关的博文，说实话，通用汇点的o(v)的求法我还不是搞的很懂，有空值得研究一下。

（原文点此，索引目录。感谢xiazdong君
&& Google酱。这里是偶尔做做搬运工的水果君(^_^)
）