[博弈]ZOJ3591 Nim
题意:
给了一串数,个数不超过$10^5$,这串数是通过题目给的一段代码来生成的
int g = S;
for (int i=; i<N; i++) {
a[i] = g;
if( a[i] == ) { a[i] = g = W; }
if( g% == ) { g = (g/); }
else { g = (g/) ^ W; }
}
其中S、N、W都是输入的。
问:从中取连续的一段出来玩Nim博弈,先手赢的取法有多少种。
Nim博弈的结论:每堆异或,最后结果为0的先手输,否则,先手赢;
于是这道题就变成了取连续的一段,异或值不为0的取法数。
N最大有1e5,显然需要O(n)复杂度的方法
异或没什么感觉...如果这道题问的是 取连续的一段,和为X的取法有多少种
那么就很自然的能想到前缀和 第i到第j的总和为sum[j]-sum[i-1]
那联想到这道题,能不能求个前缀异或呢?
对!
而且异或能分为 0 与 非0 两种情况
那么在查询 第i到第j 这一段的异或值时,只需要比较 xor_sum[i] 与 xor_sum[j]
假设xor_sum[i]=X; xor_sum[j]=X;
那么很显然i+1到j的这一段为0 ( X xor 0 = X)
我们只需要记录有多少段为0,用总的n*(n+1)/2去减去就是答案了;
为什么要记录有多少段为0?记录有多少段为0?
我们已经有前缀异或,那么当第二次出现某一值时,这个值 前一次出现的位置 到 本次出现的位置 之间这一段 就是异或值为0的。
因此我们统计异或值为0的要方便的多。
做法就是记录所有的xor_sum出现的次数加起来就好了嘛
int a[];
map<LL, LL> mp;
int main()
{
int t;
scanf("%d", &t);
while(t--)
{
int n, s, w;
scanf("%d%d%d", &n, &s, &w);
int g = s;
for (int i=; i<n; i++)
{
a[i] = g;
if( a[i] == )
a[i] = g = w;
if( g% == )
g = (g/);
else
g = (g/) ^ w;
}
LL xor_sum=, ans=;
mp.clear();
mp[]=;
for(int i=;i<n;i++)
{
xor_sum^=a[i];
ans+=mp[xor_sum];
mp[xor_sum]++;
}
print((LL)n*(n+)/-ans);
}
return ;
}
ZOJ 3591
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