开始玩矩阵了!先来一道入门题![SDOI2008]递归数列
[SDOI2008]递归数列
题目描述
一个由自然数组成的数列按下式定义:
对于i <= k:ai = bi
对于i > k: ai = c1ai-1 + c2ai-2 + ... + ckai-k
其中bj 和 cj (1<=j<=k)是给定的自然数。写一个程序,给定自然数m <= n, 计算am + am+1 + am+2 + ... + an, 并输出它除以给定自然数p的余数的值。
输入输出格式
输入格式:
输入文件spp.in由四行组成。
第一行是一个自然数k。
第二行包含k个自然数b1, b2,...,bk。
第三行包含k个自然数c1, c2,...,ck。
第四行包含三个自然数m, n, p。
输出格式:
输出文件spp.out仅包含一行:一个正整数,表示(am + am+1 + am+2 + ... + an) mod p的值。
输入输出样例
2
1 1
1 1
2 10 1000003
142
说明
对于100%的测试数据:
1<= k <=15
1 <= m <= n <= 1018
对于20%的测试数据:
1<= k <=15
1 <= m <= n <= 106
对于30%的测试数据:
k=1 1 <= m <= n <= 1018
对于所有测试数据:
0<= b1, b2,... bk, c1, c2,..., ck<=109
1 <= p <= 108
挺水的一道题,推出了矩阵,然后前缀和搞搞也就简单了;
矩阵如下:
S[n] |
b[n] |
b[n-1] |
... |
b[n-k+1] |
=
1 | c[1] | ... | c[k-1] | c[k] |
0 | c[1] | ... | c[k-1] | c[k] |
0 | 1 | ... | 0 | 0 |
0 | 0 | ... | 0 | 0 |
0 | 0 | ... | 1 | 0 |
*
S[n-1] |
b[n-1] |
b[n-2] |
... |
b[n-k+1] |
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define maxn 20
using namespace std; ll k,b[maxn],c[maxn],n,m,p,tot; struct mat{
ll x,y;
ll s[maxn][maxn];
}; mat operator *(mat a,mat b)
{
mat c;
c.x = a.x;
c.y = b.y;
memset(c.s,,sizeof(c.s));
for(ll i=;i<=a.x;i++)
for(ll j=;j<=b.y;j++)
for(ll k=;k<=b.x;k++)
c.s[i][j] = (c.s[i][j] + a.s[i][k] * b.s[k][j] % p) % p;
return c;
} mat ksm(mat a,ll ci)
{
mat ans;
memset(ans.s,,sizeof(ans.s));
ans.x = ans.y = a.x;
for(ll i=;i<=ans.x;i++)
ans.s[i][i] = ;
while(ci)
{
if(ci & ) ans = ans * a;
a = a * a;
ci >>= ;
}
return ans;
} ll find(ll num)
{
if(num <= k)
{
ll ans = ;
for(ll i=;i<=num;i++) ans += b[i],ans %= p;
return ans % p;
}
mat ans;
memset(ans.s,,sizeof(ans.s));
ans.x = ans.y = k + ;
for(ll i=;i<=k+;i++)
ans.s[][i] = ans.s[][i] = c[i - ];
ans.s[][] = ;
for(ll i=;i<=k;i++)
ans.s[i + ][i] = ;
ans = ksm(ans , num - k);
mat right;
memset(right.s,,sizeof(right.s));
right.x = k + ;
right.y = ;
for(ll i=;i<=k+;i++)
right.s[i][] = b[k + - i];
right.s[][] = tot;
right = ans * right;
return right.s[][];
} int main(){
cin >> k;
for(ll i=;i<=k;i++) scanf("%d",&b[i]),tot += b[i];
for(ll i=;i<=k;i++) scanf("%d",&c[i]);
cin >> m >> n >> p;
cout << (find(n) - find(m - ) + p) % p;
}
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