DP杂谈【持续更新中】
什么是DP?
推荐看一下。
正文
滚动数组优化
在一些空间贼小,时间还好的 DP 题目里,会用到优化空间的小技♂巧——滚动数组优化。
滚动数组,顾名思义,一个会滚动的数组,主要是怎样个滚法呢?接下来我先举一个例子:
e.g
最长公共子序列(LCS)
给出两个整数序列,求这两个序列的†最长公共子序列。
†最长公共子序列:多个序列的共有的最长子序列。
这道题我们不难发现:
我们设 \(f_{i,j}\) 为从 \(1\) 到 \(i\) 的 \(a\) 子序列和从 \(1\) 到 \(j\) 的 \(b\) 子序列的 \(LCS\)。
它的状态转移方程即为
\begin{cases}
f_{i-1, j-1} + 1 & a[i]=b[j] \\
max(f_{i-1,j},f_{i,j-1}) & a[i]\ne b[j]
\end{cases}
\]
我们发现,状态 \(f_{i,j}\) 只依赖于 \(f_{i-1,\dots}\) 和 \(f_{i,\dots}\),那么既然 \(i-2\) 及以后的状态都没用了,那么我们可以把那之前的状态给滚掉,即把第一维套上个 \(\% 2\),思考一下,这里十分的巧妙。
因为 \(mod\) 常数很大,我们为了优化常数,可以使用位运算,即 \(i\% 2\rightarrow i\&1\),\((i-1)\% 2\rightarrow (i\oplus1)\&1\)
这样我们将巨大的 \(O(n^2)\) 的空间压缩到了 \(O(n)\)。
费用提前计算
在一些题目里,它状态的每一次转移都会产生后效性,所以用普通的DP是做不了的,那么,我们如何解决这个问题呢?
这时,我们有一种策略,就是既然我已经知道未来会被现在影响,那么为什么我不先把将要影响的算了呢?这,就是费用提前计算。
e.g
Luogu 2365 任务安排
题目描述
\(n\) 个任务排成一个序列在一台机器上等待完成(顺序不得改变),这 \(n\) 个任务被分成若干批,每批包含相邻的若干任务。
从零时刻开始,这些任务被分批加工,第 \(i\) 个任务单独完成所需的时间为 \(t_i\)。在每批任务开始前,机器需要启动时间 \(s\),而完成这批任务所需的时间是各个任务需要时间的总和(同一批任务将在同一时刻完成)。
每个任务的费用是它的完成时刻乘以一个费用系数 \(f_i\)。请确定一个分组方案,使得总费用最小。
对于 \(100\%\) 的数据,\(1\le n \le 5000\),\(0 \le s \le 50\),\(1\le t_i,f_i \le 100\)。
我们先设 \(dp_i\) 为前 \(i\) 天的答案,\(time_i\) 为前 \(i\) 天完成后的时间,经过手玩样例过后发现状态转移方程为:
\]
对于 \(time_j\),我们可以表示为:
\]
※ \(num\) 为前 \(i\) 天做的次数。
怎么处理 \(num\) 呢?考虑到在每次做任务时,都会使当前和以后计算的时间加上 \(s\),先不管转移方程,我们现在对未来的影响为:
\]
于是我们可以列出一个船新的状态转移方程:
\]
因为我们在过去已经计算了影响现在的值,所以我们只需要计算 \(\sum^i_{k=1}t_k\)。以上的各种 \(\sum\) 均可以用前缀和优化为 \(O(1)\) 的,所以时间复杂度为 \(O(n^2)\)。
数位DP
数位DP主要解决的是有关每个数位上的数字的一些关系,这种DP比较容易辨认,大多是一眼题,形如:
求 \(l\) 到 \(r(1\le l,r\le 10^{18})\) 中满足以下性质的数的个数:
每个数位.........
我们可以使用类似前缀和的思想,设 \(dp(i)\) 为 \(1\) 到 \(i\) 一共满足性质的数的个数,答案即为 \(dp(r) - dp(l-1)\)。
发现可以对于一个已经固定最高位了的任意满足条件的 \(k\) 位数的数量进行预处理,但是这个做法会假掉,原因:先设原数等于 \(\overline{kabcd\cdots e}\)(\(x\) 位数),则我们在处理满足性质的最高位为 \(k\) 的 \(x\) 位数的个数可能会包含超出原数范围的数,但是这部分的数是不可取的,并且难以维护 \(\overline{kabcd\cdots e}\) 以内的满足性质的最高位为 \(k\) 的 \(x\) 位数的个数,所以做法假了。
注意到最高位小于 \(k\) 时,我们是可以使用上文预处理的方法的,于是我们可以分类讨论:
对于左边的分支,我们可以直接用先前预处理出来的值来更新 \(ans\),对于右边的分支,继续往下走,记录一下前面数位的情况,再针对前面的数位来进行下一位的转移。
e.g.
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