Codeforces Round #885 (Div. 2) A-D

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A

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

bool solve() {
    int n, m, k;
    cin >> n >> m >> k;
    int x, y;
    cin >> x >> y;
    bool ok = 1;
    for (int i = 1;i <= k;i++) {
        int xx, yy;
        cin >> xx >> yy;
        ok &= abs(x - xx) + abs(y - yy) & 1;
    }
    if (ok) cout << "YES" << '\n';
    else cout << "NO" << '\n';
    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}

B

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

vector<int> c[200007];
bool solve() {
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    for (int i = 1;i <= k;i++) c[i].clear();
    for (int i = 1;i <= k;i++) c[i].push_back(0);
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        int x;
        cin >> x;
        c[x].push_back(i);
    }
    for (int i = 1;i <= k;i++) c[i].push_back(n + 1);

    int ans = n;
    for (int i = 1;i <= k;i++) {
        priority_queue<int> pq;
        for (int j = 1;j < c[i].size();j++) pq.push(c[i][j] - c[i][j - 1] - 1);
        int mx = pq.top();
        if (mx) {
            pq.pop();
            pq.push((mx - 1) / 2);
            pq.push(mx / 2);
        }
        ans = min(ans, pq.top());
    }
    cout << ans << '\n';
    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}

C

题意

给定长为 \(n\) 的数组 \(a,b\) ，每次操作使得 \(a_i,b_i = b_i,|a_i-b_i|(1\leq i \leq n)\) 。

问是否可以通过若干次操作使得 \(a_i = 0(1 \leq i \leq n)\) 。

题目

知识点：数论。

注意到，操作到最后一定能使得 \(a_i = 0\) ，并进入周期为 \(3\) 的循环，那么只要每个位置的数字进入循环的操作次数模 \(3\) 同余即可。

模拟操作显然是不行的。注意到 \(a_i \geq 2b_i\) 时，有 \((a_i,b_i) \to (b_i,a_i-b_i) \to (a_i-b_i,a_i-2b_i) \to (a_i-2b_i,b_i)\) 。因此，可以直接 \(a_i \bmod 2b_i\) ，这样不影响操作次数模 \(3\) 的结果。随后，执行操作一次继续上述操作。

时间复杂度 \(O(n \log 10^9)\)

空间复杂度 \(O(n)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

int a[100007], b[100007];
bool solve() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i];
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> b[i];

    int ok = -1;
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        if (a[i] == 0 && b[i] == 0) continue;
        int tmp = 0;
        while (a[i]) {
            if (b[i]) a[i] %= 2 * b[i];
            swap(a[i], b[i]);
            b[i] = abs(a[i] - b[i]);
            (++tmp) %= 3;
        }
        if (ok == -1) ok = tmp;
        else if (ok != tmp) return false;
    }
    cout << "YES" << '\n';
    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        if (!solve()) cout << "NO" << '\n';
    }
    return 0;
}

D

题意

初始时有奖金 \(s\) ，接下来可以执行 \(k\) 次操作，每次操作以下的一种：

1. 奖金 \(s\) 加上 \(s\) 的个位数字。
2. 使用奖金 \(s\) ，不会使得奖金减少，使用的奖金会累加。

问最多能使用多少奖金。

题目

知识点：数学，三分。

显然要尽可能将 \(s\) 变大，再开始使用。

模拟操作1显然复杂度不行，考虑找到 \(s\) 增加的循环节。

我们发现 \(s \bmod 10 = 0 \text{ 或 } 5\) 时，至多操作 \(1\) 次就不需要继续操作了。因此，考虑取不操作的答案和操作 \(1\) 次的答案的最大值即可。

对于其他情况，至多操作 \(1\) 次就会进入 \(6,2,4,8\) 的循环，因此同样也记录不操作的答案和操作 \(1\) 次的答案的最大值，之后可以利用循环快速计算答案。

对于一开始的贪心结论，我们很容易想到凸函数三分求极值，但样例提示这不是一个凸函数。注意到，循环节长度只有 \(4\) ，若我们枚举终点在循环节中的位置，那么剩下的就是以常数 \(20\) 增加，这显然是个凸函数，可以用三分。

进一步地，最后那个凸函数是个二次函数，也可以直接求抛物线对称轴得到最值。

时间复杂度 \(O(\log k)\)

空间复杂度 \(O(1)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

bool solve() {
    ll s, k;
    cin >> s >> k;
    ll ans = s * k;
    s += s % 10;
    k--;
    ans = max(ans, s * k);
    if (s % 10 == 0) {
        cout << ans << '\n';
        return true;
    }

    auto check = [&](ll x) {
        return (s + x * 20) * (k - x * 4);
    };
    for (int i = 0;i < 4 && k;i++, s += s % 10, k--) {
        ll l = 0, r = k / 4;
        while (l <= r) {
            ll mid1 = l + (r - l) / 3;
            ll mid2 = r - (r - l) / 3;
            if (check(mid1) <= check(mid2)) l = mid1 + 1;
            else r = mid2 - 1;
        }
        ans = max(ans, check(r));
    }
    cout << ans << '\n';
    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}