NC15557 连续区间的最大公约数

题目链接

题目

题目描述

给一个数列共n(n<=100,000)个数，a1,a2,...,an.(0<=ai<=1000,000,000).有q(q<=100,000)个询问。每个询问为l,r(1<=l<=r<=n).求gcd(al,al+1,...,ar).

再求区间[l,r]的子区间中(l<=l'<=r'<=r)满足gcd(al,al+1,...,ar) = gcd(al',al'+1,...ar')的子区间个数.

输入描述

第一行一个数T表示数据组数

第二行一个数n

接下来一行n个数,a1,a2,...,an

接下一行一个数q

接下来一行2个数l和r。

输出描述

首先输出一行“Case #:t”,t代表当前是第几组数据。

接下来q行，每行输出2个数，第一个是gcd(al,al+1,...,ar),

第二个是区间[l,r]的子区间中(l<=l'<=r'<=r)满足gcd(al,al+1,...,ar) = gcd(al',al'+1,...ar')的子区间个数。

示例1

输入

2
5
1 2 4 6 7
4
1 5
2 4
3 4
4 4
5
1 2 4 2 1
6
1 1
1 3
2 2
2 3
2 4
3 3

输出

Case #1:
1 8
2 4
2 1
6 1
Case #2:
1 1
1 3
2 1
2 2
2 5
4 1

题解

知识点：线段树，GCD与LCM，双指针，枚举。

区间信息需要维护区间 \(\gcd\) \(GCD\)、区间答案 \(ans\) 。但是，仅通过孩子区间 \(ans\) 是无法获得区间 \(ans\) 的，因为符合条件的子区间可能还包括区间中凭空产生的跨越两个孩子区间的子区间，即和孩子区间 \(ans\) 中的子区间没有任何关系的子区间。因此，我们需要维护额外的信息。

首先，考虑如何从区间中间开始，枚举出跨越两个孩子区间的符合条件的子区间。最朴素的想法是 \(O(n^2)\) 枚举每个端点，但是显然是不行的，我们考虑如何优化。

注意到，子区间 \(\gcd\) 随着区间变大一定是不增的，而区间 \(\gcd\) 一定是最小的，因此我们可以采用尺取法。初始时，左右端点 \(l,r\) 分别在左右子区间的左端点，随后枚举 \(l\) 扩展 \(r\) ，每次 \(r\) 扩展使得 \([l,r]\) 的 \(\gcd\) 变小直到等于区间 \(gcd\) ，那么 \(r\) 到区间右端点的所有点都是当前 \(l\) 的合法右端点（因此还需要维护区间长度 \(len\) ），最后 \(l\) 向右挪一个点，直到 \(l,r\) 到左右子区间的右端点结束。但是，这样的复杂度是 \(O(n)\) 的，显然还是不够的，我们需要继续优化。

我们发现，尺取的过程中 \(\gcd\) 变化频率通常是很小的。实际上， \(l,r\) 的移动有很长一段距离， \([l,r]\) 的 \(\gcd\) 是不变的。这是因为对于一个区间，其 \(gcd\) 的变化种类最多只有其区间最大值的质因数个种类，在 \(10^9\) 内不超过 \(10\) 个。因此，我们考虑维护区间从左端点开始的前缀 \(\gcd\) 数组 \(L\) ，从右端点开始的后缀 \(\gcd\) 数组 \(R\) 。例如， 区间有 \(7\) 个数 \(\{ 24,12,16,6,30,18,9\}\) ，那么其 \(L = \{(24,1),(12,1),(4,1),(2,3),(1,1) \}\) ， \(R=\{ (9,2),(3,2),(1,3) \}\) （其中第一个数表示 \(\gcd\) ，第二个数表示持续长度） 。于是，尺取法的端点枚举这两个数字即可，最多移动 \(10^2\) 次。

合并时， \(len,GCD\) 直接求， \(ans\) 等于尺取法的答案再加上 \(GCD\) 和区间 \(GCD\) 一致的左右子区间 \(ans\) 。对于 \(L,R\) ，我们不妨考虑 \(L\) ，首先继承左子区间的 \(L\) ，然后逐步加上右子区间的 \(R\) ，如果要加上的一块是当前 \(L\) 末尾 \(\gcd\) 的倍数则直接加在 \(L\) 末尾的长度上，否则 push_back 一个新元素， \(R\) 同理。

时间复杂度 \(O((n+q) \log n)\)

空间复杂度 \(O(n)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

template<class T>
class SegmentTree {
    int n;
    vector<T> node;

    T query(int rt, int l, int r, int x, int y) {
        if (r < x || y < l) return T();
        if (x <= l && r <= y) return node[rt];
        int mid = l + r >> 1;
        return query(rt << 1, l, mid, x, y) + query(rt << 1 | 1, mid + 1, r, x, y);
    }

public:
    SegmentTree(int _n = 0) { init(_n); }
    SegmentTree(const vector<T> &src) { init(src); }

    void init(int _n = 0) {
        n = _n;
        node.assign(n << 2, T());
    }
    void init(const vector<T> &src) {
        assert(src.size() >= 2);
        init(src.size() - 1);
        function<void(int, int, int)> build = [&](int rt, int l, int r) {
            if (l == r) return node[rt] = src[l], void();
            int mid = l + r >> 1;
            build(rt << 1, l, mid);
            build(rt << 1 | 1, mid + 1, r);
            node[rt] = node[rt << 1] + node[rt << 1 | 1];
        };
        build(1, 1, n);
    }

    T query(int x, int y) { return query(1, 1, n, x, y); }
};
struct T {
    int len = 0;
    int GCD = 0;
    vector<pair<int, int>> L = {}, R = {};
    ll ans = 0;
    friend T operator+(const T &a, const T &b) {
        if (!a.len) return b;
        if (!b.len) return a;

        T x = T();
        x.len = a.len + b.len;
        x.GCD = gcd(a.GCD, b.GCD);
        if (a.GCD == x.GCD) x.ans += a.ans;
        if (b.GCD == x.GCD) x.ans += b.ans;

        int l = a.R.size() - 1, r = 0, sum = 0;
        while (l >= 0) {
            while (r < b.L.size()) {
                if (gcd(a.R[l].first, b.L[r].first) == x.GCD) break;
                sum += b.L[r].second;
                r++;
            }
            x.ans += 1LL * a.R[l].second * (b.len - sum);
            l--;
        }

        x.L = a.L;
        for (int i = 0;i < b.L.size();i++) {
            if (b.L[i].first % x.L.back().first) x.L.push_back({ gcd(x.L.back().first,b.L[i].first),b.L[i].second });
            else x.L.back().second += b.L[i].second;
        }
        x.R = b.R;
        for (int i = 0;i < a.R.size();i++) {
            if (a.R[i].first % x.R.back().first) x.R.push_back({ gcd(a.R[i].first,x.R.back().first),a.R[i].second });
            else x.R.back().second += a.R[i].second;
        }

        return x;
    }
};

bool solve() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<T> a(n + 1);
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        int x;
        cin >> x;
        a[i] = { 1,x,{{x,1}},{{x,1}},1 };
    }
    SegmentTree<T> sgt(a);

    int q;
    cin >> q;
    while (q--) {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        auto tar = sgt.query(l, r);
        cout << tar.GCD << ' ' << tar.ans << '\n';
    }
    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    for (int i = 1;i <= t;i++) {
        cout << "Case #" << i << ":" << '\n';
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}