【题解】【THUSC 2016】成绩单 LOJ 2292 区间dp

Prelude

快THUWC了，所以补一下以前的题。

真的是一道神题啊，网上的题解没几篇，而且还都看不懂，我做了一天才做出来。

传送到LOJ：（＞人＜；）

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Solution

直接切入正题。

我们考虑区间dp，第一件事是离散化。

然后用\(g(i,j)\)表示消除完闭区间\([i,j]\)的最小费用。

然后呢？怎么转移？exm？？？

这时候会有一个非常自然的想法。

计算\(g(i,j)\)的时候，我们枚举两个数\(l,r\)，然后保留下值在闭区间\([l,r]\)之内的所有数，先消除掉其他的数字，就只剩\([l,r]\)之内的数字了，再一次性消除掉她们。

时间复杂度\(O(n^5)\)，但是显然是错的。

错在哪里呢？大概是错在下面这种情况，我懒得构造具体的反例了。

对于一组数字\(abcabca\)，我们可以先消除掉中间的\(a\)，再消除掉\(bcbc\)，最后再消除掉\(aa\)，在我们的dp里面似乎并没有考虑到这种情况。

因为\(aa\)是最后消除掉的，因此如果我们选择保留\(a\)的话，会保留下来所有的\(a\)。

我们太仁慈了，保留下来了\([l,r]\)之间的所有的数字，其实不一定要保留所有数字。

怎么办呢？

脑洞大开！

我们用\(f(i, j, l, r)\)表示，消除完在闭区间\([i,j]\)之内的，除了值在\([l,r]\)之间的所有数字。

注意，在\([l,r]\)之间的数字，可以消除，也可以不消除。

然后显然有这个东西：

$\Large g(i, j) = \min f(i, j, l, r)$
实际上就是枚举$l,r$嘛。
然后我们考虑$f(i, j, l, r)$如何转移。
当闭区间$[i,j]$内元素全部在$[l,r]$之间的时候，显然$f(i, j, l, r)=0$。
当闭区间$[i,j]$内元素全部不在$[l,r]$之间的时候，显然$f(i, j, l, r)=g(i, j)$。
$f(i, j, l, r)=g(i, j)$似乎构成了循环依赖？
那么，我们枚举$l,r$的时候，必须保证区间$[i,j]$内存在至少一个数字在$[l,r]$内，这样就不会有循环依赖了。
解决了$f(i, j, l, r)$的边界问题，接下来看如何转移。
像普通的区间dp一样，我们枚举区间的分裂点$k$，然后把区间$[i,j]$分裂成$[i,k]$和$[k+1,j]$两部分，递归做下去。
有式子：
$\Large f(i, j, l, r) = \min f(i, k, l, r) + f(k+1, j, l, r)$
感受一下，感觉似乎是能处理各种情况的？
但是实际上和刚刚的做法没有任何区别。
因为对于状态$f(i, j, l, r)$，我们仍然保留了$[l,r]$之间的所有数字，仍然是那么的仁慈。
我们需要加一种暴力斩掉所有数字的情况。
有式子：
$\Large f(i, j, l, r) = \min g(i, k) + f(k+1, j, l, r)$
仔细感受一下，这两个$f(i, j, l, r)$的转移式结合起来之后，就可以处理掉所有情况了！
时间复杂度仍然是$O(n^5)$。
实现采用记忆化搜索，效果棒棒哒~
真是一道神题啊。。。

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Code

#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <iostream>

using namespace std;
const int N = 52;
const int W = 1010;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int _w;

int bmin( int &a, int b ) {
	return a = b < a ? b : a;
}

int n, a, b, w[N];
int vis[W], num[N], m;
int f[N][N][N][N], g[N][N];
int F( int, int, int, int );
int G( int, int );

void discrete() {
	for( int i = 1; i <= n; ++i )
		vis[w[i]] = 1;
	m = 1;
	for( int i = 1; i < W; ++i )
		if( vis[i] )
			vis[i] = m, num[m++] = i;
	--m;
	for( int i = 1; i <= n; ++i )
		w[i] = vis[w[i]];
}

bool contain( int i, int j, int l, int r ) {
	for( int p = i; p <= j; ++p )
		if( w[p] >= l && w[p] <= r )
			return true;
	return false;
}

bool all( int i, int j, int l, int r ) {
	for( int p = i; p <= j; ++p )
		if( w[p] < l || w[p] > r )
			return false;
	return true;
}

int F( int i, int j, int l, int r ) {
	int &now = f[i][j][l][r];
	if( now != -1 ) return now;
	if( all(i, j, l, r) ) return now = 0;
	if( !contain(i, j, l, r) ) return now = G(i, j);
	now = INF;
	for( int k = i; k < j; ++k ) {
		bmin( now, F(i, k, l, r) + F(k+1, j, l, r) );
		bmin( now, G(i, k) + F(k+1, j, l, r) );
	}
	// printf( "f[%d][%d][%d][%d] = %d\n", i, j, l, r, now );
	return now;
}

int G( int i, int j ) {
	int &now = g[i][j];
	if( now != -1 ) return now;
	now = INF;
	for( int l = 1; l <= m; ++l )
		for( int r = l; r <= m; ++r )
			if( contain(i, j, l, r) ) {
				int u = num[l], v = num[r];
				bmin( now, F(i, j, l, r) + (v-u)*(v-u)*b + a );
			}
	// printf( "g[%d][%d] = %d\n", i, j, now );
	return now;
}

int main() {
	cin >> n >> a >> b;
	for( int i = 1; i <= n; ++i )
		cin >> w[i];
	discrete();
	memset(f, -1, sizeof f);
	memset(g, -1, sizeof g);
	printf( "%d\n", G(1, n) );
	return 0;
}