[BZOJ5317][JSOI2018]部落战争(闵可夫斯基和)

对于点集$A$,$B$，闵可夫斯基和$C=\{(x1+x2,y1+y2)|(x1,x2)\in A,(y1,y2)\in B\}$。
由此可知，对于两个凸包$A$,$B$的闵可夫斯基和$C$满足，$C$中的向量是所有$A$中向量与$B$中向量的和的并集。可以证明，$C$也是一个凸包。
现在问题是要求，对于询问向量$\vec{d}$，是否存在$\vec{a}\in A$,$\vec{b}\in B$，使得$\vec{a}=\vec{b}+\vec{d}$。
移项得$\vec{d}=\vec{a}-\vec{b}$，发现这是$B$中所有向量取反后与$A$的闵可夫斯基和。于是问题转化为，求$A$与$-B$的闵可夫斯基和$C$，并快速判断某个向量是否在$C$内。
求闵可夫斯基和有一个线性算法，正确性不会证明。
先求出$A$和$B$的凸包，再取出凸包上所有的边，这些边显然都分别是已经按极角排好序的向量。
初始时$C$只有一个点$\vec{a1}+\vec{b1}$，其中$a1$,$b1$分别是$A$和$B$凸包中的第一个点。
接下来类似归并排序地，按极角序从小到大依次插入新向量并维护凸包。
最后，凸包的尾部可能会出现一些多余点，直接删除或再求一次凸包即可。
得到凸包$C$后，问题只剩快速判断一个点$P$是否在凸包$C$内了。
很简单，将凸包中点以相对于凸包第一个点的极角序排好，二分找到$P$在其中哪个位置，向量叉积即可判断。
总复杂度$O(n\log n)$

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++)
 typedef long long ll;
 using namespace std;

 const int N=;
 int n,m,q,tot;
 struct P{ ll x,y; }s,p[N],p1[N],p2[N],v1[N],v2[N],t[N],a[N];
 P operator +(const P &a,const P &b){ return (P){a.x+b.x,a.y+b.y}; }
 P operator -(const P &a,const P &b){ return (P){a.x-b.x,a.y-b.y}; }
 ll operator *(const P &a,const P &b){ return a.x*b.y-a.y*b.x; }
 ll len(P a){ return a.x*a.x+a.y*a.y; }

 bool cmp(const P &a,const P &b){ ll k=(a-s)*(b-s); return k ? k> : len(a-s)<len(b-s); }

 int Graham(P a[],int n){
     rep(i,,n) t[i]=a[i];
     rep(i,,n) if (t[i].x<t[].x || (t[i].x==t[].x && t[i].y<t[].y)) swap(t[],t[i]);
     s=t[]; sort(t+,t+n+,cmp); int top=;
     rep(i,,n){
         while (top> && (t[top]-t[top-])*(t[i]-t[top-])<=) top--;
         t[++top]=t[i];
     }
     rep(i,,top) a[i]=t[i];
     return top;
 }

 bool jud(P x){
     P vx=x-p[];
     if (vx*(p[tot]-p[])< || vx*(p[]-p[])>) return ;
     int px=lower_bound(p+,p+tot+,x,cmp)-p-;
     return (x-p[px])*(p[px%tot+]-p[px])<=;
 }

 int main(){
     freopen("bzoj5317.in","r",stdin);
     freopen("bzoj5317.out","w",stdout);
     scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
     rep(i,,n) scanf("%lld%lld",&p1[i].x,&p1[i].y);
     rep(i,,m) scanf("%lld%lld",&p2[i].x,&p2[i].y),p2[i].x=-p2[i].x,p2[i].y=-p2[i].y;
     n=Graham(p1,n); m=Graham(p2,m);
     rep(i,,n-) v1[i]=p1[i+]-p1[i]; v1[n]=p1[]-p1[n];
     rep(i,,m-) v2[i]=p2[i+]-p2[i]; v2[m]=p2[]-p2[m];
     p[]=p1[]+p2[]; tot=;
     int l1=,l2=;
     while (l1<=n || l2<=m)
         tot++,p[tot]=p[tot-]+((l1<=n && (l2>m || (v1[l1]*v2[l2]>=))) ? v1[l1++] : v2[l2++]);
     while (tot> && (p[tot]-p[tot-])*(p[]-p[tot-])<=) tot--;
     s=p[]; P qs;
     rep(i,,q) scanf("%lld%lld",&qs.x,&qs.y),printf("%d\n",jud(qs));
     return ;
 }