2018.09.20 atcoder Painting Graphs with AtCoDeer（tarjan+polya）

传送门

一道思维题。

如果没有环那么对答案有k的贡献。

如果恰为一个环，可以用polya求贡献。

如果是一个有多个环重叠的双联通的话，直接转化为组合数问题（可以证明只要每种颜色被选取的次数相同一定可以在进行若干次交换之后变成一样的），相当于选一个值域在[1,k][1,k][1,k]中的单调不下降子序列的个数。

这个跟bzoj4403求法是相同的。

对于序列中的每一个元素的值加上它自己的下标就转化成了单调上升子序列的个数，有(edgecnt+k−1k−1)\binom {edge_{cnt}+k-1} {k-1}(k−1edgecnt​+k−1​)的贡献。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
#define N 1005
#define M 10005
#define ll long long
using namespace std;
inline int read(){
	int ans=0;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))ch=getchar();
	while(isdigit(ch))ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return ans;
}
struct edge{int v,next;}e[M<<1];
ll ifac[M],fac[M],dfn[N],low[N],tot=0,ans=1;
int n,m,k,top=0,first[N],cnt=0,stk[N],siz,rec,pot,edg;
set<int>tmp;
inline void add(int u,int v){e[++cnt].v=v,e[cnt].next=first[u],first[u]=cnt;}
inline ll ksm(ll x,int p){
	ll ret=1;
	while(p){
		if(p&1)ret=ret*x%mod;
		x=x*x%mod,p>>=1;
	}
	return ret;
}
inline ll gcd(ll a,ll b){while(b){ll t=a;a=b,b=t%a;};return a;}
inline ll polya(int x){
	ll ret=0;
	for(int i=1;i<=x;++i)(ret+=ksm(k,gcd(x,i)))%=mod;
	return ret*ksm(x,mod-2)%mod;
}
inline ll C(int n,int m){return fac[n]*ifac[m]%mod*ifac[n-m]%mod;}
inline void dfs(int p,int fa){
	dfn[p]=low[p]=++tot,stk[++top]=p;
	for(int i=first[p];i;i=e[i].next){
		int v=e[i].v;
		if(v==fa)continue;
		if(dfn[v]){low[p]=min(low[p],dfn[v]);continue;}
		dfs(v,p),low[p]=min(low[p],low[v]);
		if(low[v]>=dfn[p]){
			tmp.clear(),pot=edg=0;
			do tmp.insert((rec=stk[top--])),++pot; while(rec!=v);
			tmp.insert(p),++pot;
			for(set<int>:: iterator it=tmp.begin();it!=tmp.end();++it)for(int k=first[*it];k;k=e[k].next)if(tmp.count(e[k].v))++edg;
			edg>>=1;
			ll ttmp;
			if(edg<pot)(ans*=k)%=mod;
			if(edg==pot)(ans*=polya(edg))%=mod;
			if(edg>pot)(ans*=C(edg+k-1,k-1))%=mod;
		}
	}
	if(!fa)--top;
}
int main(){
	n=read(),m=read(),k=read(),ifac[0]=fac[0]=ifac[1]=1;
	for(int i=2;i<M;++i)ifac[i]=(mod-mod/i)*ifac[mod%i]%mod;
	for(int i=1;i<M;++i)fac[i]=fac[i-1]*i%mod,(ifac[i]*=ifac[i-1])%=mod;
	for(int i=1;i<=m;++i){
		int a=read(),b=read();
		add(a,b),add(b,a);
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)if(!dfn[i])dfs(i,0);
	cout<<ans;
	return 0;
}