【模板】缩点(Tarjan算法)/洛谷P3387
题目链接
https://www.luogu.com.cn/problem/P3387
题目大意
给定一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边有向图,每个点有一个权值,求一条路径,使路径经过的点权值之和最大。你只需要求出这个权值和。
允许多次经过一条边或者一个点,但是,重复经过的点,权值只计算一次。
题目解析
- 强连通
强连通:有向图 \(D(V,E)\) 两点 \(a,b\) 互相可达,称 \(a,b\) 强连通。
强连通分量:有向图 \(D\) 的点集子集 \(\mathrm{v}\) 两两可达,且 \(\mathrm{v}\) 是极大的(增加任意新点即不满足条件),称 \(\mathrm{v}\) 为 \(D\) 的一个强连通分量。
定理:有向图 \(D\) 可唯一划分为若干强连通分量 \(\mathrm{v_1,v_2,...,v_n}\) 。
- 缩点
缩点,即将有向图 \(D\) 划分为若干强连通分量 \(\mathrm{v_1,v_2,...,v_n}\) 。
将每个强连通分量视作一个点,这些点组成点集 \(V'\) ,强连通分量之间的边组成边集 \(E'\) ,得到一张新的有向图 \(D'(V',E')\)。
定理:有向图 \(D'\) 无环 \((DAG)\)。
- \(Tarjan\) 算法
\(Tarjan\) 算法通过一遍 \(DFS\) ,实现缩点的过程。
其原理简单概括为:
对于一个点 \(p\) , \(DFS\) 记录每个点进入搜索的时间戳(搜索顺序) \(\mathrm{dfn}[p]\),以及是否仍在栈中 \(\mathrm{inStack}[p]\)。
\(DFS\) 找不到新的路径即走到了尽头,记录从该点能到达的时间戳最早的点的时间 \(\mathrm{low}[p]=\min{\mathrm{dfn}[p']}\),那么 \(p\) 和 \(p'\) 之间所有在栈中的点都属于同一个强连通分量。
伪代码如下:
Tarjan(u)
{
dfn[u] = low[u] = ++Index
Stack.push(u)
for each (u->v) in E
if (v is not visited)
Tarjan(v)
low[u] = min(low[u], low[v])
else if (v in Stack)
low[u] = min(low[u], dfn[v])
if (dfn[u] == low[u]) //如果节点u是强连通分量的根
++cnt //增加强连通分量个数
repeat
v = Stack.pop
add v into set[cnt] //将v退栈,为该强连通分量中一个顶点
until (u == v)
}
时间复杂度: \(O(n+m)\)
可以通过下面这个例子,形象地体会一下算法流程:
- 原题目解析
将原有向图 \(D\) 缩点简化为新的有向无环图 \(D'\),新的点权为强连通分量中的点权之和,求 \(D'\) 的一条点权最大路径,只需从各顶点出发一遍 \(DFS\) 即可。
简单说明一下参考代码:
dfn[i], inStack[i]意义同上。
e[i]记录从i点出发的边集,g[k]记录第k个强连通分量的点集。
f[i]意义同low[i]。
u[i]记录原图每个点的点权。
w[k]记录第k个强连通分量的联合点权。
ans[i]记录从i点出发的路径最大点权(记忆化搜索)。
mp为某个点i属于哪个强连通分量的索引(mp{f[i] -> k})。
参考代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4+5;
int f[N], dfn[N], inStack[N], w[N], ans[N], u[N];
int n, m, idx=0, cnt=0;
vector <int> e[N], g[N];
map <int, int> mp;
stack <int> stk;
int tarjan(int x)
{
int b, t;
dfn[x] = f[x] = ++idx;
stk.push(x);
inStack[x] = 1;
for (int i=0; i<e[x].size(); i++)
{
b = e[x][i];
if (!dfn[b]) {
tarjan(b);
f[x] = min(f[b], f[x]);
}
else if (inStack[b]) {
f[x] = min(f[b], f[x]);
}
}
if (dfn[x] == f[x]) {
mp.insert(pair<int, int>(f[x], ++cnt));
w[cnt] = 0;
do {
t = stk.top();
stk.pop();
inStack[t] = 0;
g[cnt].push_back(t);
f[t] = f[x];
w[cnt] += u[t];
} while (x != t);
}
}
int find(int x) {return f[x] == x ? dfn[x] : f[x] = find(f[dfn[x]]);}
int dfs(int x)
{
int k = 0;
ans[x] = w[x];
for (int i=0; i<g[x].size(); ++i)
{
for (int j=0; j<e[g[x][i]].size(); ++j)
{
int b = mp[f[e[g[x][i]][j]]];
if (ans[b] == -1) dfs(b);
if (b != x) k = max(k, ans[b]);
}
}
return ans[x] = ans[x] + k;
}
int main()
{
int i, a, b;
scanf("%d%d", &n, &m);
for (i=1; i<=n; ++i) scanf("%d", &u[i]);
for (i=1; i<=m; ++i) {
scanf("%d%d", &a, &b);
if (a == b) m--, i--;
else e[a].push_back(b);
}
for (i=1; i<=n; ++i) if (!dfn[i]) tarjan(i);
int res = 0;
for (i=1; i<=cnt; ++i) ans[i] = -1;
for (i=1; i<=cnt; ++i){
if (ans[i] == -1) dfs(i);
res = max(res, ans[i]);
}
printf("%d\n", res);
return 0;
}
感谢阅读!
【模板】缩点(Tarjan算法)/洛谷P3387的更多相关文章
- tarjan缩点练习 洛谷P3387 【模板】缩点+poj 2186 Popular Cows
缩点练习 洛谷 P3387 [模板]缩点 缩点 解题思路: 都说是模板了...先缩点把有环图转换成DAG 然后拓扑排序即可 #include <bits/stdc++.h> using n ...
- 洛谷P3387 【模板】缩点 题解
背景 今天\(loj\)挂了,于是就有了闲情雅致来刷\(luogu\) 题面 洛谷P3387 [模板]缩点传送门 题意 给定一个\(n\)个点\(m\)条边有向图,每个点有一个权值,求一条路径,使路径 ...
- 洛谷 P3387 【模板】缩点 DAGdp学习记
我们以洛谷P3387 [模板]缩点 来学习DAGdp 1.这道题的流程 //伪代码 for i->n if(i未被遍历) tarjan(i) 缩点() DAGdp() 完成 首先tarjan这部 ...
- 缩点Tarjan算法解析+[题解]受欢迎的牛
(注:我在网上找了一些图,希望原博主不要在意,谢谢,(。☉౪ ⊙。)) 首先来了解什么是强连通分量 有向图强连通分量:在有向图G中,如果两个顶点vi,vj间(vi>vj)有一条从vi到vj的有向 ...
- 洛谷3388 【模板】割点 tarjan算法
题目描述 给出一个n个点,m条边的无向图,求图的割点. 关于割点 在无向连通图中,如果将其中一个点以及所有连接该点的边去掉,图就不再连通,那么这个点就叫做割点(cut vertex / articul ...
- hdu 2586 How far away?(LCA模板题+离线tarjan算法)
How far away ? Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)To ...
- 差分约束算法————洛谷P4878 [USACO05DEC] 布局
题目: 不难看出题意主要是给出ml+md个格式为xi-xj<=ak的不等式,xi-xj为i,j俩头牛的距离,要我们求x1-xn的最大值. 经过上下加减我们可以将这几个不等式化成x1-xn< ...
- 【模板】矩阵快速幂 洛谷P2233 [HNOI2002]公交车路线
P2233 [HNOI2002]公交车路线 题目背景 在长沙城新建的环城公路上一共有8个公交站,分别为A.B.C.D.E.F.G.H.公共汽车只能够在相邻的两个公交站之间运行,因此你从某一个公交站到另 ...
- 洛谷——P3387 【模板】缩点
P3387 [模板]缩点 题目背景 缩点+DP 题目描述 给定一个n个点m条边有向图,每个点有一个权值,求一条路径,使路径经过的点权值之和最大.你只需要求出这个权值和. 允许多次经过一条边或者一个点, ...
随机推荐
- ESD
Reverse standoff voltage是保护二极管的反向工作电压, 在这个电压, 二极管是不工作的. Breakdown voltage 是二极管的击穿电压, 超过这个电压后, 二极管迅速反 ...
- wpa_supplicant启动出错rfkill: Cannot open RFKILL control device
在板子是调试网络,千辛万苦把wpa_supplicant及其依赖都移植编译进来了,在板子上调试启动的时候启动报错了 D/wpa_supplicant( 1152): wpa_supplicant v2 ...
- ST表 求 RMQ(区间最值)
RMQ即Range Minimum/Maximun Query,中文意思:查询一个区间的最小值/最大值 比如有这样一个数组:A{3 2 4 5 6 8 1 2 9 7},然后问你若干问题: 数组A下标 ...
- cm3 逆向分析
目录 cm3 逆向分析 前言 逆向分析 cm3 逆向分析 前言 这道题没加壳,也没加密算法,主要看代码逻辑. 逆向分析 代码很短,一共这么几句. 看提示知道只让我们输入w.s.a.d这几个字符,并且用 ...
- 应对gitee容量超限. 保留star/fork/评论
应对gitee容量超限 进入企业版,"管理"-"仓库管理",点"清空仓库". 在E:\gitee目录上右击,"git bash h ...
- windows端口占用处理方法
(1)输入命令:netstat -ano,列出所有端口的情况.在列表中我们观察被占用的端口,比如是8081,首先找到它.C:\Users\Administrator>netstat -ano活动 ...
- loadruuner12基准测试流程
基准测试:单用户测试 一.归纳基准测试: 方法一:单用户循环5次 1.调试好脚本(加检查点,在VuGen中运行成功) 2.打开控制台,设置Run-time Settings 3.迭代次数:5 4.Pa ...
- MySQL:互联网公司常用分库分表方案汇总!
一.数据库瓶颈 不管是IO瓶颈,还是CPU瓶颈,最终都会导致数据库的活跃连接数增加,进而逼近甚至达到数据库可承载活跃连接数的阈值.在业务Service来看就是,可用数据库连接少甚至无连接可用.接下来就 ...
- 猿猿有责,维持整洁的 Git 提交记录,三个锦囊送给你
背景 大家都有学习如何规范简洁的编写代码,但却很少学习如何规范简洁的提交代码.现在大家基本上都用 Git 作为源码管理的工具,Git 提供了极大的灵活性,我们按照各种 workflow 来提交/合并 ...
- [loj3347]有趣的旅途
考虑求出重心,以0为根建树,求出第 $i$个点的子树大小$sz[i]$($a(0,i)$),则满足$n-sz[i]\le \lfloor\frac{n}{2}\rfloor$的$sz[i]$中的最小值 ...