UOJ #76 -【UR #6】懒癌(思维题)
神仙题。
orz czx,czxyyds
首先没有懒癌的狗肯定不会被枪毙,证明显然。
接下来考虑怎样计算一种局面的答案,假设 \(dp_S\) 表示对于有且仅有 \(S\) 中的狗得了懒癌的情况,最少需要多少天才能有狗被枪毙。显然如果 \(|S|=1\),那么 \(dp_S=1\),因为得了懒癌的狗的主人一天就可以知道自己的狗得了懒癌。对于其他情况,我们不妨从一个得了懒癌的狗的情况思考这个问题,假设为狗 \(x\) 的主人,\(x\in S\),那么他会先假设自己的狗没有得懒癌,自己看不见的狗得懒癌的情况为任何一种,设为 \(S'\),其中 \(S'\) 与 \(S\) 满足状态不同的元素都是 \(x\) 不能看见的狗的编号的集合,那么我们考察 \(\max\{dp_{S'}\}\),如果过了 \(\max\{dp_{S'}\}\) 天还没听到枪声,那说明所有 \(S'\) 都不可能是得了懒癌得狗得集合,这时候狗 \(x\) 的主人便会知道自己的狗一定得了懒癌,于是,砰,游戏到此结束。而游戏结束的时间,肯定是对于所有得了懒癌的狗的主人,他们反应过来自己的狗得了懒癌的时间的 \(\min\),因此 \(dp_S=\min_{x}\{\max\{dp_{S'}\}\}+1\)
从上面的转移中我们可以看出对于 \(S\subseteq T\),都有 \(dp_S\le dp_T\),也就是说,上面的 \(dp_{S'}\) 取到 \(\max\) 的情况,就是我们把所有 \(x\) 不能看到的狗都插入集合 \(S\) 并从集合 \(S\) 中删除 \(x\) 得到的集合。因此我们考虑将上面的暴力枚举 \(S'\) 的过程修改为:首先对于两条狗 \(i,j\),如果 \(i\) 看不到 \(j\) 则连一条 \(i\to j\) 的有向边,那么我们每次选择一个 \(S\) 中的元素并将其删除,同时将所有与其有直接边相连的元素插入 \(S\),如此进行下去直到 \(S\) 为空,那么这个最小步数就是 \(S\) 的答案。
注意到如果一个点在一个环上或者能到达一个环,那么如果该元素在 \(S\) 中,那么过程一定无法结束,因此这样的点一定不能出现在 \(S\) 中,因此考虑在反图上进行一遍拓扑排序,这样即可知道哪些点必须不能在 \(S\) 中,我们设剩余的点数为 \(m\)。
最后思考如何求解答案。对于这样的题,我们肯定要思考对于一个点,它会对哪些集合的第一问或者第二问的答案产生贡献,不难发现,对于第一问而言,答案就是 \(S\) 中所有点能到达的点的并的大小,也就是说,一个点的贡献会被统计入答案,当且仅当所有能够到达它的点中,至少有一个点属于 \(S\),因此我们先一遍 bitset
对每个点求出,有多少点能到达它,设为 \(c_i\),那么一个点的贡献就是 \((2^{c_i}-1)2^{m-c_i}\)。对于第二问而言,通过上面的过程也可以发现,被枪毙的狗都是集合中没有其他狗能够到达的狗,因此一个点的贡献自然是 \(2^{m-c_i}\),累加求和即可。
时间复杂度 \(\dfrac{n^3}{\omega}\),由于常数小,1s 时限绰绰有余。
const int MAXN=3000;
const int MOD=998244353;
int n,a[MAXN+5][MAXN+5],deg[MAXN+5],vis[MAXN+5],pw[MAXN+5];
bitset<MAXN+5> rch[MAXN+5];
int main(){
// freopen("island.in","r",stdin);
// freopen("island.out","w",stdout);
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
static char s[MAXN+5];scanf("%s",s+1);
for(int j=1;j<=n;j++) a[i][j]=s[j]-'0';
}
for(int i=1;i<=n;i++) a[i][i]=1;
for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) if(!a[i][j]) ++deg[i];
queue<int> q;for(int i=1;i<=n;i++) if(!deg[i]) q.push(i);
vector<int> seq;
while(!q.empty()){
int x=q.front();q.pop();vis[x]=1;seq.pb(x);
for(int i=1;i<=n;i++) if(!a[i][x]){
if(!--deg[i]) q.push(i);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++) if(vis[i]) rch[i].set(i);
reverse(seq.begin(),seq.end());
for(int i=0;i<seq.size();i++){
int x=seq[i];
for(int j=1;j<=n;j++) if(!a[x][j]&&vis[j]) rch[j]|=rch[x];
}
for(int i=(pw[0]=1);i<=MAXN;i++) pw[i]=(pw[i-1]<<1)%MOD;
int res1=0,res2=0,tot=seq.size();
for(int i=1;i<=n;i++) if(vis[i]){
int cnt=rch[i].count();
// printf("%d %d\n",i,cnt);
res1=(res1+1ll*(pw[cnt]-1+MOD)*pw[tot-cnt])%MOD;
res2=(res2+pw[tot-cnt])%MOD;
} printf("%d %d\n",res1,res2);
return 0;
}
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