NOIP模拟「random·string·queen」

T1：random

  我又来白剽博客了：

  详细证明请看土哥

  土哥写的不是很详细，我在这里详细写一下：

  首先，对于f[n]的式子：

  加一是那一个对的贡献，大C是选其余的几个数，\(2^{N}\)是总的子集个数。

  逆序对的期望个数是：

  首先，所有数字两两匹配，共有\(n*(n-1)\)对，，然后，某个对成为逆序对的的概率是50%，所以变成了四分之。

  上代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace STD
{
	#define rr register
	#define inf INT_MAX

	typedef long long ll;

	const ll mod=998244353;
	ll n;
	ll read()
	{
		rr ll x_read=0,y_read=1;
		rr char c_read=getchar();
		while(c_read<'0'||c_read>'9')
		{
			if(c_read=='-') y_read=-1;
			c_read=getchar();
		}
		while(c_read<='9'&&c_read>='0')
		{
			x_read=(x_read<<3)+(x_read<<1)+(c_read^48);
			c_read=getchar();
		}
		return x_read*y_read;
	}
	ll qpow(ll base,ll exp)
	{
		ll ret=1ll;
		while(exp)
		{
			if(exp&1) ret=ret*base%mod;
			base=1ll*base*base%mod;
			exp>>=1;
		}
		return ret;
	}
};
using namespace STD;
int main()
{
	n=read();
	ll inv=qpow(9,mod-2);
	for(rr int i=1;i<=n;i++)
	{
		ll x=read()%mod;
		cout<<(x*x%mod-1+mod)*inv%mod<<'\n';
	}
}

T2:string

  气死，这题我改了一整天，结果发现是二分与Hash表的指针打错了，气死。

  这题的思路是Hash+Trie。

  手写Hash，快的一批。

  注意后缀要倒着插，前缀要正着插。

  代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace STD
{
	#define rr register
	#define inf INT_MAX
	#define scanf ybbb=scanf
	typedef long long ll;
	typedef unsigned long long ull;
	const int N=1e5+4;
	const int LEN=2e5+4;
	const ull base=131;
	int m,ybbb;
	int pre[N],suc[N];
	char s[N]="";
	ull mi[N],has[N],rehas[N];
	struct node
	{
		node * nxt;
		ull key;
		int sum;
		node()
		{
			key=sum=0;
			nxt=NULL;
		}
		node(ull key_,int sum_)
		{
			key=key_,sum=sum_;
			nxt=NULL;
		}
	};
	class Hash
	{
		private:
			node * head[LEN];
		public:
			void insert(ull,int);
			node * find(ull);
	}h[2];
	void Hash::insert(ull key,int sum)
	{
		ull x=key%(LEN-4);
		if(head[x]==NULL)
		{
			head[x]=new node(key,sum);
			return ;
		}
		node * temp=head[x];
		node * pre=NULL;
		while(temp!=NULL&&(temp->key!=key))
		{
			pre=temp;
			temp=temp->nxt;
		}
		if(temp==NULL)
		{
			temp=new node(key,sum);
			if(pre!=NULL)
				pre->nxt=temp;
			return;
		}
		temp->sum=sum;
	}
	node * Hash::find(ull key)
	{
		ull x=key%(LEN-4);
		node * temp=head[x];
		while(temp!=NULL&&temp->key!=key)
			temp=temp->nxt;
		return temp;
	}
	class Trie
	{
		private:
			int tot;
			int ch[LEN][28];
			int cnt[LEN];
		public:
			int sp;
			Trie(){tot=1;}
			void insert(char*,char*);
			void get(int,ull);
	}t[2];
	void Trie::insert(char * st,char * en)
	{
		int p=1;
		if(st>=en)
		{
			for(rr char * i=st;i>=en;i--)
			{
				int x=(*i)-'a'+1;
				if(ch[p][x]==0) ch[p][x]=++tot;
				p=ch[p][x];
				cnt[p]++;
			}
		}
		else
		{
			for(rr char * i=st;i<=en;i++)
			{
				int x=(*i)-'a'+1;
				if(ch[p][x]==0) ch[p][x]=++tot;
				p=ch[p][x];
				cnt[p]++;
			}
		}
	}
	void Trie::get(int id,ull has)
	{
		for(rr int i=1;i<=26;i++)
		{
			if(ch[id][i])
			{
				cnt[ch[id][i]]+=cnt[id];
				h[sp].insert(has*base+i,cnt[ch[id][i]]);
				get(ch[id][i],has*base+i);
			}
		}
	}
	int read()
	{
		rr int x_read=0,y_read=1;
		rr char c_read=getchar();
		while(c_read<'0'||c_read>'9')
		{
			if(c_read=='-') y_read=-1;
			c_read=getchar();
		}
		while(c_read<='9'&&c_read>='0')
		{
			x_read=(x_read<<3)+(x_read<<1)+(c_read^48);
			c_read=getchar();
		}
		return x_read*y_read;
	}
	void Pre()
	{
		mi[0]=1;
		for(rr int i=1;i<=N-2;i++)
			mi[i]=mi[i-1]*base;
	}
	inline ull substr(int l,int r){return has[r]-has[l-1]*mi[r-l+1];}
	inline ull resubstr(int l,int r){return rehas[l]-rehas[r+1]*mi[r-l+1];}
};
using namespace STD;
int main()
{
	Pre();
	scanf("%s",s+1);
	m=read();
	for(rr int i=1;i<=m;i++)
	{
		char a[N]="";
		scanf("%s",a+1);
		int len=strlen(a+1);
		t[0].insert(a+1,a+len);
		t[1].insert(a+len,a+1);
	}
	t[0].sp=0,t[1].sp=1;
	t[0].get(1,0),t[1].get(1,0);
	int len=strlen(s+1);
	for(rr int i=1;i<=len;i++)
		has[i]=has[i-1]*base+s[i]-'a'+1;
	for(rr int i=len;i>=1;i--)
		rehas[i]=rehas[i+1]*base+s[i]-'a'+1;
	//suc
	for(rr int i=1;i<=len;i++)
	{
		int l=1,r=i;
		while(l<r)
		{
			int mid=(l+r)>>1;
			ull x=resubstr(mid,i);
			node * temp=h[1].find(x);
			if(temp==NULL) l=mid+1;
			else r=mid;
		}
		ull x=resubstr(l,i);
		node * temp=h[1].find(x);
		if(temp!=NULL)
			suc[i]=temp->sum;
	}
	//pre
	for(rr int i=len;i>=1;i--)
	{
		int l=i,r=len;
		while(l<r)
		{
			int mid=(l+r+1)>>1;
			ull x=substr(i,mid);
			node * temp=h[0].find(x);
			if(temp==NULL) r=mid-1;
			else l=mid;
		}
		ull x=substr(i,l);
		node * temp=h[0].find(x);
		if(temp!=NULL)
			pre[i]=temp->sum;
	}
	ll ans=0;
	for(rr int i=1;i<len;i++)
		ans+=1ll*suc[i]*pre[i+1];
	printf("%lld\n",ans);
}

T3:queen

  emmmm。。。。官方题解已经很详细了，就不写了，但是土哥给了两个优化，还是很香的。

  一个是对于\(\sum_{i=0}^{n}\)\(C^{m}_{i}\)=\(C^{m+1}_{n+1}\)的优化（证明是杨辉三角裂项)。

  另一个是\(\sum_{i=1}^{n}\)\(i^{2}\)=\(n*(n+1)*(2*n+1)/6\)。

  真的棒极了。