最短路径问题,BFS,408方向,思路与实现分析
最短路径问题,BFS,408方向,思路与实现分析
继上回挖下的坑,不知道大家有没有认真看最小生成树呢?很简单,这回也讲讲正常难度的,看不懂就来这里看看,讲的很好~~
最短路径问题
说起这个问题,先说个问题吧~~
这回不修路了,这回运东西哈哈哈,abcde五个城市,a是丝绸产业重地,那么经常要往,bcde4个城市运东西,那么到各个城市怎么运送距离最近呢?图示见下~~
a分别到各个城市运送,这是一个单源最短路径问题~~
那么如果各个城市之间都有特产,需要相互的两两之间运送距离最近呢?这就是各顶点之间的最短路径问题~
所以明确一下,要搞的这三个算法当然是有适用范围的~~
单源最短路径-BFS求无权图思路
BFS其实也就是广度优先遍历,图的广度优先遍历这里我们来模拟一下~~
当然,无权图你也可以想象成权值为一的特殊带权图嘛~~
第一次遍历,我们访问的元素应该是1和6~~
第二次遍历,我们访问的元素应该是5,3和7~~
第三次遍历,我们访问的元素应该是4和8~~
BFS代码实现与分析
先来代码~~
void BFS_MIN_Distance(Graph G,int u)
{
for(i = 0;i < G.vexnum; ++i)
{
d[i] = false; //单源到各点路径长度的最短路径,先初始化,false代表不可到达
path[i] = -1; //最短路径从哪个顶点过来,先初始化
}
d[u] = 0;
visited[u] =TRUE; //标记顶点u已被标记
EnQueue(Q,u);//顶点u入队列
while(!isEmpty(Q))//主过程
{
DeQueue(Q,u);//顶点u出队列
for(w = FirstNeighbor(G,u); w >= 0; w = NextNeighbor(G,u,w))
{ //遍历当前出队列的元素的所有邻接顶点,第一次为遍历顶点u的所有邻接顶点
//当前出队列的元素即跳出for循环之后,再进入for循环时,本例中,u即为1号元素
if(!visited[w]) //w为u为尚未访问的邻接顶点
{
d[w] = d[u] +1;//路径长度加1
path[w] = u; //最短路径为u到w
visited[w] = TRUE;//标记顶点w已被标记
EnQueue(Q,w);//顶点w入队列
}
}
}
}
我们需要列出3块内容帮助我们分析~~
visited数组:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
visited | false | false | false | false | false | false | false | false |
队:开始的时候没有元素~~
d[]和path[]数组
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
d[] | false | false | false | false | false | false | false | false |
path[] | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 |
分析一下到while主过程之前,我们做的事情~~
visited数组:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
visited | false | true | false | false | false | false | false | false |
队: 2 ,u为2
d[]和path[]数组
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
d[] | false | 0 | false | false | false | false | false | false |
path[] | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 |
那么此时进入while循环~~
第一次while循环,2出队~~
队: 空,此时2出队了~~
进入for循环~~
第一次for,u为2,第一个邻接顶点为1,并且1尚未访问,所以路径长度加1,最短路径为u到w,即2到1,标记1已访问,1入队,w=NextNeighbor,还有邻接顶点,所以继续~~
第二次for,第二个u的邻接顶点,为6,并且6尚未访问所以路径长度加1,最短路径为u到w,即2到6,标记6已访问,6入队,w=NextNeighbor,没有邻接顶点了所以跳出~~
此时
visited数组:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
visited | true | true | false | false | false | true | false | false |
队: 1,6 ,队头为1,所以u为1
d[]和path[]数组
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
d[] | 1 | 0 | false | false | false | 1 | false | false |
path[] | 2 | -1 | -1 | -1 | -1 | 2 | -1 | -1 |
第二次while
1出队~~
进入for循环~~
第一次for,u为1,第一个邻接顶点为2,但是2已被访问,所以不执行if内语句,w=NextNeighbor,还有邻接顶点,所以继续~~
第二次for,第二个u的邻接顶点,为5,5尚未访问所以路径长度加1,此时因为d[u]初始为1,所以为1+1=2,最短路径为u到w,即1到5,标记5已访问,5入队,w=NextNeighbor,没有邻接顶点了所以跳出~~
此时
visited数组:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
visited | true | true | false | false | true | true | false | false |
队: 6 ,5,队头为6,所以u为6
d[]和path[]数组
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
d[] | 1 | 0 | false | false | 2 | 1 | false | false |
path[] | 2 | -1 | -1 | -1 | 1 | 2 | -1 | -1 |
第三次while~~
6出队,再进行for循环,那么之后就会变成~~
visited数组:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
visited | true | true | true | false | true | true | true | false |
队: 5,3,7队头为5,所以u为5
d[]和path[]数组
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
d[] | 1 | 0 | 2 | false | 2 | 1 | 2 | false |
path[] | 2 | -1 | 6 | -1 | 1 | 2 | 6 | -1 |
第四次whlie~~
5,出队,再进行for,没有邻接顶点,所以没有改变~~
visited数组:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
visited | true | true | true | false | true | true | true | false |
队: 3,7队头为3,所以u为3
d[]和path[]数组
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
d[] | 1 | 0 | 2 | false | 2 | 1 | 2 | false |
path[] | 2 | -1 | 6 | -1 | 1 | 2 | 6 | -1 |
第五次while~~
3出队,进行for,此时~~
visited数组:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
visited | true | true | true | true | true | true | true | false |
队: 7队头为7,所以u为7
d[]和path[]数组
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
d[] | 1 | 0 | 2 | 3 | 2 | 1 | 2 | false |
path[] | 2 | -1 | 6 | 3 | 1 | 2 | 6 | -1 |
第六次whlie~~
7出队,进行for,此时~~
visited数组:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
visited | true | true | true | true | true | true | true | true |
队: 没有元素入队,队空了~~
d[]和path[]数组
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
d[] | 1 | 0 | 2 | 3 | 2 | 1 | 2 | 3 |
path[] | 2 | -1 | 6 | 3 | 1 | 2 | 6 | 7 |
此时队空,跳出while,执行成功~~
此时,我们得到了d[]和path[]数组~~
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
d[] | 1 | 0 | 2 | 3 | 2 | 1 | 2 | 3 |
path[] | 2 | -1 | 6 | 3 | 1 | 2 | 6 | 7 |
比如我们看4号元素,即可知~~
2到4号元素的最短路径为长度d[4] = 3;
2到4号元素的最短路径为: 看4号元素path[4]为3,4 <- 3,再看3号元素path[3]为6,3 <- 6 ,再看6号元素path[6]为2,6 <- 2,所以2到4的最短路径为:2 -> 6 -> 3 -> 4~~
写到这才发现一写就挺多的,那Dijkstra,Floyd算法就下次再写咯~~
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