洛谷4072 SDOI2016征途 （斜率优化+dp）

首先根据题目中给的要求，推一下方差的柿子。

\[v\times m^2 = m\times \sum x^2 - 2 \times sum \times sum +sum*sum
\]

所以\(ans = v*m^2 = m\times \sum x^2 - sum*sum\)

那我们实际上就是最大化平方和。

由于题目限制了要分\(m\)段。所以我们的\(dp\)状态就是\(f[i][j]\)表示前\(i\)个数分了\(j\)段。

那么一个比较显然的转移

\(dp[i][p]=min(dp[j][p-1]+(s[i]-s[j]^2))\)

然后直接套斜率优化就好了！

但是要注意的是，因为题目中对第二维有点限制，所以我们要开\(m\)个单调队列来维护。

对于\(dp[i][j]\)，每次从\(j-1\)的单调队列要转移。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#define mk make_pair
#define ll long long
using namespace std;
inline int read()
{
  int x=0,f=1;char ch=getchar();
  while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
  while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
  return x*f;
}
const int maxn = 3010;
struct Point{
	int x,y;
};
ll chacheng(Point x,Point y)
{
	ll xx = x.x;
	ll yy = x.y;
	ll xxx = y.x;
	ll yyy = y.y;
	return xx*yyy-xxx*yy;
}
struct Node{
	Point q[maxn];
	int head=1,tail=0;
	bool count(Point i,Point j,Point k)
	{
		Point x,y;
		x.x=k.x-i.x;
		x.y=k.y-i.y;
		y.x=k.x-j.x;
		y.y=k.y-j.y;
		if (chacheng(x,y)<=0ll) return true;
		return false;
	}
	void push(Point x)
	{
	   while (tail>=head+1 && count(q[tail-1],q[tail],x)) tail--;
	   q[++tail]=x;
	}
	void pop(int lim)
	{
		while (tail>=head+1 && q[head+1].y-q[head].y<lim*(q[head+1].x-q[head].x)) head++;
	}
};
Node q[maxn];
int sum[maxn];
int n,m;
int dp[maxn][maxn];
int main()
{
  n=read();m=read();
  for (int i=1;i<=n;i++) sum[i]=read();
  for (int i=1;i<=n;i++) sum[i]+=sum[i-1];
  for (int i=0;i<=n;i++) q[i].push((Point){0,0});
  for (int i=1;i<=n;i++)
  {
  	for (int j=1;j<=min(i,m);j++)
  	{
  		q[j-1].pop(2*sum[i]);
  		Point now = q[j-1].q[q[j-1].head];
  		dp[i][j]=now.y-now.x*now.x + (sum[i]-now.x)*(sum[i]-now.x);
  		q[j].push((Point){sum[i],dp[i][j]+sum[i]*sum[i]});
	}
  }
  //cout<<dp[n][m]<<" "<<m<<" "<<sum[n]*sum[n]<<endl;
  cout<<dp[n][m]*m-sum[n]*sum[n]<<endl;
  return 0;
}