Solution -「多校联训」行列式
\(\mathcal{Description}\)
Link.
给定 \(x,\{d_i\}_{i=1}^n,\{p_i\}_{i=2}^n,\{b_i\}_{i=2}^n,\{c_i\}_{i=2}^n\),构造矩阵 \(A=(a_{ij})_{n\times n}\):
b_j,&i=p_j\\
c_i,&j=p_i\\
d_i,&i=j\\
x,&\text{otherwise}
\end{cases}.
\]
求 \(\det A\)。
\(n\le10^6\),\(p_i\in[1,i)\)。
\(\mathcal{Solution}\)
\(p_i\in[1,i),~i=2,3,\dots,n\)。
这是什么?这是树!
在这样意识流的思考下,我们选择将 \(A\) 看做邻接矩阵,那么自然地区分出了三类边:
- 树边,以 \(1\) 位根,父亲到儿子的边权是 \(b\),儿子到父亲的边权是 \(c\);
- 自环,边权为 \(d\);
- 非树边,边权为 \(x\)。
矩阵中有大面积的常数 \(x\),利用 trick,从行列式的定义式的角度抵消大量贡献。具体地,令 \(X=(x)_{n\times n},Y=A-X\),则
\det A&=\det (X+Y)\\
&=\sum_{\sigma}(-1)^{\tau(\sigma)}\prod_{i=1}^n(x+y_{i\sigma_i}).
\end{aligned}
\]
此番强行构造出二项式相乘的形式,若累乘式中至少 \(2\) 项选择了 \(x\),不妨设选择 \(x\) 的位置为 \(\{q_1,q_2,\cdots,q_k\}~(k>1)\),那么于 \(\sigma\) 中交换 \(\sigma_{q_1}\) 和 \(\sigma_{q_2}\) 的位置得到 \(\sigma'\),在新的累乘式中同样选择 \(\{q_1,q_2,\cdots,q_k\}\) 为 \(x\),而 \((-1)^{\tau(\sigma)+\tau(\sigma')}=0\),并且 \(\sigma\) 与 \(\sigma'\) 两两对应抵消,所以这样的方案是没有贡献的!
回到图上,考虑 \(\prod_{i=1}^n a_{i\sigma_i}\) 的组合意义:每个结点 \(i\) 选择邻接边 \(\lang i,\sigma_i\rang\),得到边权的乘积。所选的边显然构成若干简单环,而在排除至多出现一次的含有非树边 \(x\) 的环,其余环必然是自环或树边二元环!(注意含非树边的环亦可为这两种情况。)
进一步,尝试树上 DP 求解这一形象问题。在计算逆序对 \(\tau(\sigma)\) 时,利用结论
设 \(\sigma\) 轮换分解后得到偶排列的的个数为 \(c\),则 \((-1)^c=(-1)^{\tau(\sigma)}\)。(易证。)
可以将 \((-1)\) 的贡献直接乘到状态的值中。具体来说,对于 \(u\) 点,状态应有:
- 子树内无 \(x\) 环;\(u\) 在子树内的环中;
- 子树内有 \(x\) 环;\(u\) 在子树内的环中;
- 子树内无 \(x\) 环;\(u\) 不在子树内的环中且不在 \(x\) 环中;
- 子树内有 \(x\) 环;\(u\) 不在子树内的环中且不在 \(x\) 环中;
- 子树内无 \(x\) 环;\(u\) 在顶点高于 \(u\) 的 \(x\) 环中,且选择向上的树边;
- 子树内无 \(x\) 环;\(u\) 在顶点高于 \(u\) 的 \(x\) 环中,且选择向下的树边。
六种情况,分别写出转移式子即可。(当然也可以用多维状态来让思路更清晰。)
最终,复杂度 \(\mathcal O(n)\)。
\(\mathcal{Code}\)
/*~Rainybunny~*/
#include <cstdio>
#define rep( i, l, r ) for ( int i = l, rep##i = r; i <= rep##i; ++i )
#define per( i, r, l ) for ( int i = r, per##i = l; i >= per##i; --i )
inline int rint() {
int x = 0, f = 1, s = getchar();
for ( ; s < '0' || '9' < s; s = getchar() ) f = s == '-' ? -f : f;
for ( ; '0' <= s && s <= '9'; s = getchar() ) x = x * 10 + ( s ^ '0' );
return x * f;
}
template<typename Tp>
inline void wint( Tp x ) {
if ( x < 0 ) putchar( '-' ), x = -x;
if ( 9 < x ) wint( x / 10 );
putchar( x % 10 ^ '0' );
}
const int MAXN = 1e6, MOD = 1e9 + 7;
int n, ecnt, head[MAXN + 5], x, b[MAXN + 5], c[MAXN + 5], d[MAXN + 5];
int f[MAXN + 5][6];
struct Edge { int to, nxt; } graph[MAXN * 2 + 5];
inline void subeq( int& a, const int b ) { ( a -= b ) < 0 && ( a += MOD ); }
inline int sub( int a, const int b ) { return ( a -= b ) < 0 ? a + MOD : a; }
inline int mul( const long long a, const int b ) { return int( a * b % MOD ); }
inline int add( int a, const int b ) { return ( a += b ) < MOD ? a : a - MOD; }
inline void addeq( int& a, const int b ) { ( a += b ) >= MOD && ( a -= MOD ); }
inline void link( const int s, const int t ) {
graph[++ecnt] = { t, head[s] }, head[s] = ecnt;
}
inline void solve( const int u ) {
f[u][0] = f[u][4] = f[u][5] = 1, f[u][1] = d[u];
for ( int i = head[u], v; i; i = graph[i].nxt ) {
solve( v = graph[i].to );
static int tmp[6];
tmp[0] = mul( f[u][0], f[v][1] );
tmp[1] = mul( f[u][1], f[v][1] );
subeq( tmp[1], mul( mul( f[u][0], f[v][0] ), mul( b[v], c[v] ) ) );
tmp[2] = mul( f[u][2], f[v][1] );
addeq( tmp[2], mul( f[u][0], f[v][3] ) );
tmp[3] = mul( f[u][3], f[v][1] );
addeq( tmp[3], mul( f[u][1], f[v][3] ) );
subeq( tmp[3], mul( mul( f[u][0], f[v][2] ), mul( b[v], c[v] ) ) );
subeq( tmp[3], mul( mul( f[u][2], f[v][0] ), mul( b[v], c[v] ) ) );
subeq( tmp[3], mul( mul( f[u][4], f[v][5] ), mul( x, c[v] ) ) );
subeq( tmp[3], mul( mul( f[u][5], f[v][4] ), mul( x, b[v] ) ) );
tmp[4] = mul( f[u][4], f[v][1] );
subeq( tmp[4], mul( mul( f[u][0], f[v][4] ), b[v] ) );
tmp[5] = mul( f[u][5], f[v][1] );
subeq( tmp[5], mul( mul( f[u][0], f[v][5] ), c[v] ) );
rep ( j, 0, 5 ) f[u][j] = tmp[j];
}
addeq( f[u][3], mul( x, f[u][0] ) );
}
int main() {
freopen( "B.in", "r", stdin );
freopen( "B.out", "w", stdout );
n = rint(), x = rint();
rep ( i, 1, n ) d[i] = sub( rint(), x );
rep ( i, 2, n ) {
link( rint(), i ), b[i] = sub( rint(), x ), c[i] = sub( rint(), x );
}
solve( 1 );
wint( add( f[1][1], f[1][3] ) ), putchar( '\n' );
return 0;
}
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