「SCOI2016」妖怪 解题报告

「SCOI2016」妖怪

玄妙...盲猜一个结论，然后过了，事后一证，然后假了，数据真水

首先要最小化

\[\max_{i=1}^n (1+k)x_i+(1+\frac{1}{k})y_i
\]

\(k\)是大于0的正实数

最大值显然在上凸包上，先把上凸包搞出来

然后每个点成为最大值时，\(k\)都有个取值范围（就是它左边或者右边的点成为最大值时）

然后对每个点用均值不等式得到最小值为

\[\begin{aligned}
z&=kx+\frac{1}{k}y+x+y\\
&\ge2\sqrt{xy}+x+y\\
\end{aligned}
\]

在\(kx=\frac{y}{k}\)取到最小值，即\(k=\sqrt{\frac{y}{x}}\)

然后这个点成为最大值时，可能取到最小值的就两个端点和这个最小值点（如果这个最小值可以取的话）

最开始我没注意可以不等式，随便取了个\(k=\frac{y}{x}\)，居然也过了，真神奇

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Code:

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using std::min;
const int N=1e6+10;
const double eps=1e-8;
struct Vector
{
    double x,y;
    Vector(){}
    Vector(double X,double Y){x=X,y=Y;}
    Vector friend operator -(Vector a,Vector b){return Vector(a.x-b.x,a.y-b.y);}
    bool friend operator <(Vector a,Vector b){return fabs(a.x-b.x)<eps?a.y>b.y:a.x<b.x;}
}bee[N],s[N];
double Cross(Vector a,Vector b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}
int n,tot;
double get(Vector a,Vector b)
{
    double k=(b.y-a.y)/(b.x-a.x);
    if(fabs(k)<eps) return -eps;
    if(1/fabs(k)<eps) return -1/eps;
    return k;
}
double cal(double k,Vector a)
{
    if(k<eps) return 1e18;
    return (1+k)*a.x+(1+1/k)*a.y;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf",&bee[i].x,&bee[i].y);
    std::sort(bee+1,bee+1+n);
    bee[++n]=Vector(0,bee[1].y);
    ++n,bee[n]=Vector(bee[n-2].x,0);
    std::sort(bee+1,bee+1+n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(tot>1&&Cross(bee[i]-s[tot],s[tot]-s[tot-1])<0) --tot;
        s[++tot]=bee[i];
    }
    double ans=1e18;
    for(int i=2;i<tot;i++)
    {
        double kl=-get(s[i],s[i-1]),kr=-get(s[i+1],s[i]),k=sqrt(s[i].x/s[i].y);
        ans=min(ans,min(cal(kl,s[i]),cal(kr,s[i])));
        if(kl<=k&&k<=kr)
            ans=min(ans,cal(k,s[i]));
    }
    printf("%.4f\n",ans);
    return 0;
}

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2019.3.5