POJ 1845 Sumdiv(逆元)
题目链接:Sumdiv
题意:给定两个自然数A,B,定义S为A^B所有的自然因子的和,求出S mod 9901的值。
任意正整数都有且只有唯一的方式写出其质因子的乘积表达式
$A={p_1}^{k_1}*{p_2}^{k_2}*{p_3}^{k_3}*...*{p_n}^{k_n}$
2.整数因数个数
$B=(k_1+1)*(k_2+1)*(k_3+1)...*(k_n+1)$
3.整数因数总和
$S=(1+p_1+p_1^2+p_1^3+...+{p_1}^{k_1})*(1+p_2+p_2^2+p_2^3+...+{p_2}^{k_2})*...(1+p_n+p_n^2+p_n^3+...+{p_n}^{k_n})$
明显地:先分解整数A,A的整数因数总和能表示,A^B只不过是pi变成pi^B。
通过等比数列求和公式:$\dfrac{{p_1}^{k_1b+1}-1}{p_1-1}=1+p_1+p_1^2+p_1^3+...+{p_1}^{k_1b}$
费马小定理:
$a^{p-1} ≡1 (mod p)$
两边同除以a
$a^{p-2} ≡inv(a) (mod p)$
$inv(a) = a^{p-2} (mod p)$
快速幂求一下即可:
ll fast_mod(ll x,ll y,ll mod){
ll res=;
while(y){
if(y&) res=fast_mul(res,x,mod);
x=fast_mul(x,x,mod);
y>>=;
}
return res;
}
直接使用快速幂可能爆long long,结合快速乘防止爆long long:
ll fast_mul(ll x,ll y,ll mod){
ll res=;
while(y){
if(y&) res=(res+x)%mod;
x=(x+x)%mod;
y>>=;
}
return res;
}
最后一个问题,存在逆元的情况是$ax ≡1(mod p)$
如果a是p的倍数时候左边为0,明显不等于右边。可以使用这个公式
$ans=\dfrac{a}{b}modm=amod(mb)/b$
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std; typedef long long ll;
const int N=1e7;
const ll MOD=;
ll p[N],k[N];
ll a,b,c=; ll fast_mul(ll x,ll y,ll mod){
ll res=;
while(y){
if(y&) res=(res+x)%mod;
x=(x+x)%mod;
y>>=;
}
return res;
} ll fast_mod(ll x,ll y,ll mod){
ll res=;
while(y){
if(y&) res=fast_mul(res,x,mod);
x=fast_mul(x,x,mod);
y>>=;
}
return res;
} void solve(){
ll res=;
for(ll i=;i<c;i++){
ll M=MOD*(p[i]-);
res=res*(fast_mod(p[i],k[i]*b+,M)+M-)/(p[i]-)%MOD;
}
printf("%lld\n",(res+MOD)%MOD);
} int main(){
while(scanf("%lld%lld",&a,&b)!=EOF){
c=;
for(ll i=;i*i<=a;i++){
if(a%i==){
ll cnt=;
p[c]=i;
while(a%i==) a/=i,cnt++;
k[c]=cnt;
c++;
}
}
if(a>) {p[c]=a;k[c]=;c++;}
solve();
}
return ;
}
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