HDU 4764 Stone (巴什博弈)

题意

Tang和Jiang玩石子游戏，给定n个石子，每次取[1,k]个石子，最先取完的人失败，Tang先取，问谁是赢家。

思路

比赛的时候想了不久，还WA了一次= =……后来看题解才发现是经典的巴什博弈，博弈什么的什么都不会= =……

【巴什博弈】只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。

分析：显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=（m+1）r+s，（r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。

【结论】n % (m+1) == 0，后手必胜；否则先手必胜。

【变形】如果规定最后取光者输，结果如何？(n-1)%(m+1) == 0，后手必胜。

分析：先手会重新决定策略，所以不是简单的相反行的。我们这样想：如果保证最后给先手只留一个，那么后手就能必胜了。问题就化为取n-1个的子问题，而最后是后手取走的，所以对应的是巴什博弈后手必胜即(n-1) % (m+1) == 0的情况。

代码

[cpp]
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#define MID(x,y) ((x+y)/2)
#define MEM(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define REP(i, begin, end) for (int i = begin; i <= end; i ++)
using namespace std;

int main(){
//freopen("test.in", "r", stdin);
//freopen("test.out", "w", stdout);
int n, k;
while(scanf("%d %d", &n, &k) != EOF){
if (n + k == 0) break;
if ((n-1) % (k+1) == 0){
puts("Jiang");
}
else{
puts("Tang");
}
}
return 0;
}
[/cpp]