P1052 过河[DP]

题目描述

在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0,1,…,L0,1,…,L（其中LL是桥的长度）。坐标为00的点表示桥的起点，坐标为LL的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是SS到TT之间的任意正整数（包括S,TS,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为LL的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。

题目给出独木桥的长度LL，青蛙跳跃的距离范围S,TS,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

解析

正常来讲，这是一道再简单不过的dp，状态定义就是到达每个点最少踩到的石子数，转移就是从前\(s\sim t\)步的状态转移过来。

但是，这题数据范围很大，于是运用压缩路径技巧。

显然，如果我们取\(1\sim10\)的最小公倍数，若两点之间距离为这个最小公倍数，那么无论\(s,t\)为何，都可以从上一个点跳到这一个点。因此，我们每遇到两个距离大于该最小公倍数的点，就将这个距离对该最小公倍数取模。

参考代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<vector>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define PI acos(-1.0)
#define N 350000
#define E 1e-12
#define lcm 2520
using namespace std;
int dp[N],a[N],d[N],l,s,t,m;
bool v[N];
int main()
{
	scanf("%d%d%d%d",&l,&s,&t,&m);
	for(int i=1;i<=m;++i) scanf("%d",&a[i]);
	sort(a+1,a+m+1);
	for(int i=1;i<=m;++i) d[i]=(a[i]-a[i-1])%lcm;
	for(int i=1;i<=m;++i){
		a[i]=a[i-1]+d[i];
		v[a[i]]=1;
	}
	l=a[m];
	fill(dp+1,dp+N,m);
	for(int i=0;i<=l+t;++i)
		for(int j=s;j<=t;++j){
			if(i-j>=0) dp[i]=min(dp[i],dp[i-j]);
			dp[i]+=v[i];
		}
	int ans=INF;
	for(int i=l;i<=l+t;++i)
		ans=min(ans,dp[i]);
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}