洛谷 [P2594] 染色游戏

博弈论+SG函数的应用

这是一个二维翻硬币问题

一维翻硬币问题有一个结论:

局面的SG值等于局面中所有反面朝上的硬币单独存在时的SG值的异或和

这个结论同样适用于二维的翻硬币问题

证明可以用数学归纳法,这里省去(其实是我不会证)

那么如何求每个硬币单独反面朝上时的SG值,首先考虑递推

然而不会推

那就只好打表找规律

有如下规律:

\[SG(i, j) = \begin {cases}
lowbit(i + j - 1), \quad i == 1 || j == 1\\
2 ^{ i + j - 2}, \quad i != 1 \&\&j != 1
\end{cases}
\]

我们发现SG函数值最大可达 2 的 200 次方,无法用long long 储存

我们可以用 bool 数组 或 bitset 来模拟

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int T, sg[105][105], n, m, a[10005], cnt, mp[1200];
bool f[300];
int lowbit(int x) {
	return x & (-x);
}
int getsg(int a, int b){
	if(a == 1 || b == 1){
		return mp[lowbit(a + b - 1)];
	}else return a + b - 2;
}
int main() {
	for(int i = 0 ; i <=9 ; i++) {
		mp[(1<<i)] = i;
	}
	cin>>T;
	while(T--) {
		memset(f, 0, sizeof(f));
		cin>>n>>m;
		int ans = 0;
		for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
			for(int j = 1 ; j <= m ; j++) {
				char c ;
				scanf(" %c ", &c);
				if(c !='H'){
					f[getsg(i, j)] ^= 1;
				}
			}
		}
		for(int i = m + n - 1 ; i >= 0 ; i--) if(f[i]) {ans = 1;break;}
		if(ans) printf("-_-\n");
		else printf("=_=\n");
	}
	return 0;
}