二分图最小覆盖的Konig定理及其证明,最小的覆盖证明

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二分图最小覆盖的Konig定理及其证明

　　一、定义

　　　　二分图：

　　　　　　顶点可以分类两个集合X和Y，所有的边关联在两个顶点中，恰好一个属于集合Ｘ，另一个属于集合Ｙ。

　　　　最小覆盖：

　　　　　　最小覆盖要求用最少的点（Ｘ集合或Ｙ集合的都行）让每条边都至少和其中一个点关联。可以证明：最少的点（即覆盖数）＝最大匹配数

　　　　Konig定理：
　　　　　　二分图的最小顶点覆盖数等于最大匹配数。

　　二：证明

　　　　为主便叙述，假设G分为左边X和右边Y两个互不相交的点集。。。。。。

　　　　假设G经过匈牙利算法后找到一个最大匹配M，则可知G中再也找不到一条增广路径。

　　　　标记右边未匹配边的顶点，并从右边未匹配边的顶点出发，按照边：未匹配->匹配->未匹配...，的原则标记途中经过的顶点，则最后一条经过的边必定为匹配边。重复上述过程，直到右边不再含有未匹配边的点。

　　　　记得到的左边已标记的点和右边未标记的点为S， 以下证明S即为所求的最小顶点集。

　　　　1、| S | == M 
　　　　　　显然，左边标记的点全都为匹配边的顶点，右边未标记的点也为匹配边的顶点。因此，我们得到的点与匹配边一一对应。

　　　　2、S能覆盖G中所有的边。

　　　　       上途S中点所得到的边有以下几种情况：

　　　　　　       （1）左右均标记；

　　　　　　       （2）左右均无标记；

　　　　　　       （3）左边标记，右边未标记；

　　       若存在一条边e不属于S所覆盖的边集，则e 左边未标记右边标记。

　　　　如果e不属于匹配边，那么左端点就可以通过这条边到达（从而得到标记）；如果e属于匹配边，那么右端点不可能是一条路径的起点，于是它的标记只能是从这条边的左端点过来的左端点就应该有标记。

　　　　3、S是最小的覆盖。

　　　　       因为要覆盖这M条匹配边至少就需要M个点。

　　三、性质

　　　　在一个ＰＸＰ的有向图中，路径覆盖就是在图中找一些路经，使之覆盖了图中的所有顶点，且任何一个顶点有且只有一条路径与之关联；（如果把这些路径中的每条路径从它的起始点走到它的终点，那么恰好可以经过图中的每个顶点一次且仅一次）；如果不考虑图中存在回路，那么每每条路径就是一个弱连通子集．

　　　　由上面可以得出：

　　　　　　１.一个单独的顶点是一条路径；

　　　　　　２．如果存在一路径p1,p2,......pk，其中p1 为起点，pk为终点，那么在覆盖图中，顶点p1,p2,......pk不再与其它的顶点之间存在有向边．

　　　　最小路径覆盖就是找出最小的路径条数，使之成为Ｐ的一个路径覆盖．

　　　　路径覆盖与二分图匹配的关系：

　　　　　　最小路径覆盖＝｜Ｐ｜－最大匹配数；

　　　　其中最大匹配数的求法是把Ｐ中的每个顶点pi分成两个顶点pi'与pi''，如果在p中存在一条pi到pj的边，那么在二分图Ｐ＇中就有一条连接pi'与pj''的无向边；这里pi' 就是p中pi的出边，pj''就是p中pj 的一条入边；

　　　　对于公式：最小路径覆盖＝｜Ｐ｜－最大匹配数；可以这么来理解；

　　　　如果匹配数为零，那么Ｐ中不存在有向边，于是显然有：

　　　　　　最小路径覆盖＝｜Ｐ｜－最大匹配数＝｜Ｐ｜－０＝｜Ｐ｜；即Ｐ的最小路径覆盖数为｜Ｐ｜；

　　　　　　Ｐ＇中不在于匹配边时，路径覆盖数为｜Ｐ｜；

　　　　　　如果在Ｐ＇中增加一条匹配边pi'－－＞pj''，那么在图P的路径覆盖中就存在一条由pi连接pj的边，也就是说pi与pj 在一条路径上，于是路径覆盖数就可以减少一个；

　　　　　　如此继续增加匹配边，每增加一条，路径覆盖数就减少一条；直到匹配边不能继续增加时，路径覆盖数也不能再减少了，此时就有了前面的公式；但是这里只 是说话了每条匹配边对应于路径覆盖中的一条路径上的一条连接两个点之间的有向边；下面来说明一个路径覆盖中的每条连接两个顶点之间的有向边对应于一条匹配 边；

　　　　与前面类似，对于路径覆盖中的每条连接两个顶点之间的每条有向边pi--->pj，我们可以在匹配图中对应做一条连接pi'与pj''的边， 显然这样做出来图的是一个匹配图（这一点用反证法很容易证明，如果得到的图不是一个匹配图，那么这个图中必定存在这样两条边  pi'---pj'' 及 pi' ----pk''，（j!=k），那么在路径覆盖图中就存在了两条边pi-->pj, pi--->pk ，那边从pi出发的路径就不止一条了，这与路径覆盖图是矛盾的；还有另外一种情况就是存在pi'---pj'',pk'---pj''，这种情况也类似可证）；

　　至此，就说明了匹配边与路径覆盖图中连接两顶点之间边的一一对应关系，那么也就说明了前面的公式成立！