笔试算法题（34）：从数字序列中寻找仅出现一次的数字 & 最大公约数（GCD）问题

出题：给定一个数字序列，其中每个数字最多出现两次，只有一个数字仅出现了一次，如何快速找出其中仅出现了一次的数字；

分析：

• 由于知道一个数字异或操作它本身(X^X=0)都为0，而任何数字异或操作0都为它本身，所以当所有的数字序列都异或操作之后，所有出现两次的数字异或操作之后的结果都为0，则最后剩下的结果就是那个仅出现了一次的数字；
• 如果有多个数字都仅仅出现了一次，则上述的异或操作方法不再适用；如果确定只有两个数字只出现了一次，则可以利用X+Y=a和XY=b求解；

解题：

 int findSingleInt(int *array, int length) {
         int result=;
         for(int i=;i<length;i++)
                 result^=array[i];
         return result;
 }

 int main() {
         int array[]={,,,,,,,,,,};
         printf("%d\n",findSingleInt(array,));
         return ;
 }

出题：求两个正整数的最大公约数，如果正整数较大，该如何处理；

分析：

• 辗转相除法：gcd(x,y)=gcd(y,x%y)，直到较小一个数(y%x)为0，此时的y就为最大公约数。对于大整数而言，取模运算（%）开销较大 （用到除法），所以不适合计算较大整数间的GCD，注意到既然y与x%y的gcd等于x和y的gcd，那么x-y与y的gcd同样等于x和y的 gcd，gcd(x,y)=gcd(x,x-y)这样就可以避免除法操作，但经历更多的循环，同样需要保证x>y；
• 另外还有一个终极解法：使用移位操作和减法操作替代除法。
  首先，如果y=k*y1, x=k*x1，则有gcd(y, x)=k*gcd(y1, x1)
  然后，如果x=p*x1, y%p!=0，p是素数，则有gcd(x, y)=gcd(x1, y)
  所以当p=2的时候
  如果x和y都是偶数，gcd(x, y)=2*gcd(x>>1, y>>1)
  如果x为偶数，y为奇数，gcd(x,y)=gcd(x>>1, y)
  如果x为奇数，y为偶数，gcd(x, y)=gcd(x, y>>1)
  如果x和y都是奇数，gcd(x, y)=gcd(x, x-y)，x-y必然会是偶数

解题：

 int gcd1(int x, int y) {
         return (y==) ? x:gcd1(y,x%y);
 }

 int gcd2(int x, int y) {
         if(x<y)
                 return gcd2(y,x);
         if(y==)
                 return x;
         else
                 return gcd2(x-y,y);
 }

 int gcd3(int x, int y) {
         if(x<y)
                 return gcd3(y,x);
         if(y==)
                 return x;
         else {
                 if(x%==) {
                         if(y%==)
                                 return (gcd3(x >> , y >> ) << );
                         else
                                 return gcd3(x >> ,y);
                 } else {
                         if(y%==)
                                 return gcd3(x,y >> );
                         else
                                 return gcd3(y,x-y);
                 }
         }
 }