- > 动规讲解基础讲解五——最长公共子序列问题
例如:
对于一个长度为n的序列,它一共有2^n 个子序列,有(2^n – 1)个非空子序列。
仍然用序列1,3,5,4,2,6,8,7和序列1,4,8,6,7,5
1,4,6,7
请注意: 最长公共子序列不唯一。
请大家用集合的观点来理解这些概念,子序列、公共子序列以及最长公共子序列都不唯一,所以我们通常说一个最长公共子序列,但显然最长公共子序列的长度是一定的。
你首先能想到的恐怕是暴力枚举?那我们先来看看:序列A有 2^n 个子序列,序列B有 2^m 个子序列,如果任意两个子序列一一比较,比较的子序列高达 2^(n+m) 对,这还没有算具体比较的复杂度。
吓着了吧?怎么办?试试使用动态规划算法!
可是,我们事先并不知道t,由定义,我们取最大的一个,因此这种情况下,有LCS(x,y) = max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1))。
看看目前我们已经得到了什么结论:
LCS(x,y) =
(1) LCS(x - 1,y - 1) + 1 如果Ax = By
(2) max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1)) 如果Ax ≠ By
这时一个显然的递推式,光有递推可不行,初值是什么呢?
(1) LCS(x - 1,y - 1) + 1 如果Ax = By
(2) max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1)) 如果Ax ≠ By
(3) 0 如果x = 0或者y = 0
到此我们求出了计算最长公共子序列长度的递推公式。我们实际上计算了一个(n + 1)行(m + 1)列的表格(行是0..n,列是0..m),也就这个二维度数组LCS(,)。
输入序列A, B长度分别为n,m,计算二维表 LCS(int,int):
for x = to n do
for y = to m do
if (x == || y == ) then
LCS(x, y) =
else if (Ax == By) then
LCS(x, y) = LCS(x - ,y - ) +
else
LCS(x, y) = ) max(LCS(x – , y) , LCS(x, y – ))
endif
endfor
endfor
现在问题来了,我们如何得到一个最长公共子序列而仅仅不是简单的长度呢?其实我们离真正的答案只有一步之遥!
这对应L(x,y) = L(x,- 1 y- 1)末尾接上Ax
这对应L(x,y)= L(x – 1, y)
(2.2) LCS(x, y – 1) 如果Ax ≠ By且LCS(x – 1, y) <LCS(x, y – 1)
这对应L(x,y) = L(x, y – 1)
这对应L(x,y)=空序列
神奇吧?又一个类似的递推公式。可见我们在计算长度LCS(x,y)的时候只要多记录一些信息,就可以利用这些信息恢复出一个最长公共子序列来。就好比我们在迷宫里走路,走到每个位置的时候记录下我们时从哪个方向来的,就可以从终点回到起点一样。
今天对LCS的讲解就到这里,聪明的你是不是已经蠢蠢欲动要AC问题啦? 心动不如行动,赶快吧。
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int f[][];
string a,b,z;
int main()
{
while(cin>>a>>b)
{
memset(f,,sizeof(f));
int l1=a.size();
int l2=b.size();
a=' '+a;
b=' '+b;
for(int i=;i<=l1;i++)
for(int j=;j<=l2;j++)
if(a[i]==b[j])
f[i][j]=f[i-][j-]+;
else
f[i][j]=max(f[i-][j],f[i][j-]);
int i=l1,j=l2;
while(i&&j)
{
if(a[i]==b[j])
{
z=a[i]+z;
i--;j--;
}
else
{
if(f[i-][j]>=f[i][j-]) i--;
else j--;
}
}
cout<<z;
}
}
如果对你有所帮助,别忘了加好评哦;么么哒!!下次见!88
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