并不对劲的bzoj5340:loj2552:uoj399:p4564: [Ctsc2018]假面

题目大意

有$n$($n\leq200$)个非负整数$m_1,m_2,...,m_n$($\forall i\in[1,n],m_i\leq100$)，有$q$($q\leq2*10^5$)个操作，每个操作是以下两种之一：

(1)给出位置$x$，概率$q$，若$m_x$大于0，则有$q$的概率将$m_x$减一；若$m_x$为0，则不进行任何操作

(2)给出一个数$k$和$k$个不重复的位置$d_1,d_2,...d_k$，在$m_{d_1},...,m_{d_k}$中随机选一个正数，求选中位置$d_1,...,d_k$的概率各是多少，这种操作不超过1000个

最后输出每个位置上的数在经过$q$个操作后期望分别是多少。

题解

设$p_{i,j}$表示现在第$i$个数还剩$j$的概率是多少

在进行操作前，$p_{i,m_i}=1$，其他的$p_{i,j}$都为0

如果是操作(1)，$x$有$q$的概率减一，也就是说，$p_{x,j}$有$q$的概率转移到$p_{x,j-1}$，$p_{x,j}$有$1-q$的概率转移到$p_{x,j}$，特殊地，$p_{x,0}$有$1$的概率转移到$p_{x,0}$

如果是操作(2)，设$g_{i,j}$表示在不考虑$d_i$时，有$j$个数是正数的概率，那么$d_i$是正数且被选中的概率就是$$(1-p_{d_i,0})(\sum_{j=0}^{k-1}g_{i,j}\frac{1}{k+1})$$这样，在已知$g$的情况下，就可以在$\Theta(k^2)$的时间内求出一次(2)操作的答案了

那么$g$该怎么求呢？设$f_{i,j}$表示考虑位置$d_1,...,d_i$位置上的数，其中正数有$j$个

初始$f_{0,0}=1$，转移为$$ f_{i,j} \begin{cases} f_{i-1,j-1}(1-p_{d_i,0})+f_{i-1,j}p_{d_i,0} & \text {j>0} \ f_{i-1,j}*p_{d_i,0} & \text{j=0} \end{cases} $$

这样就能求出在这$k$个位置中，有$j$个位置上的数是正数的概率了，但是该如何把这个某个位置上的数的影响去掉，求出$g$呢？

重新dp一遍想必是不可能的，那样对于每个$d_i$都要重新进行$\Theta(k^2)$的dp，一次(2)操作就是$\Theta(k^3)$，时间超限了

能否用$f$和$p$进行一些变化求出$p$呢？会发现在已知$f_{i+1,0},...,f_{i+1,k}$和$p_{d_{i+1},0}$时，是可以求出$f_{i,0},...,f_{i,k}$的

先把推出$f_{i+1,0},...,f_{i+1,k}$的所有式子写出来：

$f_{i+1,0}= f_{i,0}*p_{d_{i+1},0}$

$f_{i+1,1}= f_{i,0}*(1-p_{d_{i+1},0})+f_{i,1}*p_{d_{i+1},0}$

$...$

$f_{i+1,k}= f_{i,k-1}*(1-p_{d_{i+1},0})+f_{i,k}*p_{d_{i+1},0}$

再把$f_{i,0},...,f_{i,k}$拿到左边：

$f_{i,0}= \frac{f_{i+1,0}}{p_{d_{i+1},0}}$

$f_{i,1}= \frac{f_{i+1,1}-f_{i,0}*(1-p_{d_{i+1},0})}{p_{d_{i+1},0}}$

$...$

$f_{i,k}= \frac{f_{i+1,k}-f_{i,k-1}*(1-p_{d_{i+1},0})}{p_{d_{i+1},0}}$

特殊地，当$p_{d_{i+1},0}=0$时，$f_{i,j}=f_{i+1,j+1}$

这个变化的复杂度是$\Theta(k)$的

$f_{i+1,...}$本来是$d_1,..,d_{i+1}$的答案，经过变化后，$f_{i,...}$是$d_1,..,d_{i}$的答案，这相当于把$d_{i+1}$位置上的数的影响从$f_{i+1,...}$中去掉

那么$g_{i,...}$可以看成把$d_i$位置上的数的影响从$f_{n,...}$中删去，就可以进行相似的变化

当$p_{d_{i+1},0}\neq 0$时，

$g_{i,0}= \frac{f_{n,0}}{p_{d_{i+1},0}}$

$g_{i,1}= \frac{f_{n,1}-g_{i,0}*(1-p_{d_{i+1},0})}{p_{d_{i+1},0}}$

$...$

$g_{i,k}= \frac{f_{n,k}-g_{i,k-1}*(1-p_{d_{i+1},0})}{p_{d_{i+1},0}}$

当$p_{d_{i+1},0}=0$时，$g_{i,j}=f_{g,j+1}$

代码

#include<algorithm>

#include<cmath>

#include<complex>

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<ctime>

#include<iomanip>

#include<iostream>

#include<map>

#include<queue>

#include<set>

#include<stack>

#include<vector>

#define rep(i,x,y) for(register int i=(x);i<=(y);++i)

#define dwn(i,x,y) for(register int i=(x);i>=(y);--i)

#define maxn 210

#define maxm 110

#define LL long long

using namespace std;

int read()

{

	int x=0,f=1;char ch=getchar();

	while(!isdigit(ch)&&ch!='-')ch=getchar();

	if(ch=='-')f=-1,ch=getchar();

	while(isdigit(ch))x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();

	return x*f;

}

void write(int x)

{

	if(x==0){putchar('0');return;}

	int f=0;char ch[20];

	if(x<0)putchar('-'),x=-x;

	while(x)ch[++f]=x%10+'0',x/=10;

	while(f)putchar(ch[f--]);

	return;

}

const LL mod=998244353;

int inv[maxn],n,q,m[maxn],p[maxn][maxm],f[2][maxn],g[maxn],id[maxn],yes[maxn],no[maxn],num;

int qp(int x,int y){int ans=1;while(y){if(y&1)ans=(LL)ans*(LL)x%mod;x=(LL)x*(LL)x%mod,y>>=1;}return ans;}

void work()

{

	rep(i,1,num)f[0][i]=0;f[0][0]=1;

	rep(i,0,num-1)

	{

		int now=i&1,nxt=now^1;

		rep(j,0,i)

		{

			f[nxt][j+1]=((LL)f[nxt][j+1]+(LL)f[now][j]*(LL)yes[i+1]%mod)%mod;

			f[nxt][j]=((LL)f[nxt][j]+(LL)f[now][j]*(LL)no[i+1]%mod)%mod;

			f[now][j]=0;

		}

	}

	rep(i,1,num)

	{

		int res=0,fdie=qp(no[i],mod-2);

		if(no[i]!=0)

		{

			g[0]=(LL)f[num&1][0]*(LL)fdie%mod;

			rep(j,1,num-1)g[j]=(f[num&1][j]-(LL)g[j-1]*(LL)yes[i]%mod+mod)%mod*(LL)fdie%mod;

		}

		else

		{

			rep(j,0,num-1)g[j]=f[num&1][j+1];

		}

		rep(j,0,num-1)res=(res+(LL)yes[i]*(LL)g[j]%mod*(LL)inv[j+1]%mod)%mod;

		write(res);

		if(i!=num)putchar(' ');

	}

	rep(i,0,num)f[num&1][i]=0;

	putchar('\n');

}

int main()

{

	n=read();

	rep(i,1,n)m[i]=read(),p[i][m[i]]=1,inv[i]=qp(i,mod-2);

	q=read();

	while(q--)

	{

		int op=read();

		if(op)

		{

			num=read();

			rep(i,1,num)id[i]=read();

			rep(i,1,num)no[i]=p[id[i]][0],yes[i]=(1-p[id[i]][0]+mod)%mod;

			work();

		}

		else

		{

			int x=read(),u=read(),v=read(),die=(LL)u*(LL)qp(v,mod-2)%mod,live=(LL)(v-u)%mod*(LL)qp(v,mod-2)%mod;

			rep(i,1,m[x])p[x][i-1]=(p[x][i-1]+(LL)p[x][i]*(LL)die%mod)%mod,p[x][i]=(LL)p[x][i]*(LL)live%mod;

		}

	}

	rep(i,1,n)

	{

		int res=0;

		rep(j,1,m[i])res=(res+(LL)j*(LL)p[i][j]%mod)%mod;

		write(res);

		if(i!=n)putchar(' ');

	}

	return 0;

}

一些意见

第一次见需要对dp结果去掉一个决策的影响的题

以及今天学会设置友链了！