Day3 Numerical simulation of optical wave propagation之标量衍射理论基本原理(三)

3.标量衍射理论

光源通常不是简单地平面、球面或高斯光束波。对于更一般的情况，必须使用更老练的方法来求解标量赫姆霍兹方程，需要利用格林定理并灵活使用边界条件。

基本问题：给定源平面光场U（x1,y1）情况下，观察平面光场U（x2,y2）是如何分布的？

答案由菲涅尔衍射积分方程给出。需要注意的是，这不是最一般性的解。

事实上，这是一个傍轴近似。

且式子（1.57）只有少量的解析解。

准确地数值求解菲涅尔衍射积分是相当困难的，这些困难主要是由于在有限的尺寸网格上使用了离散采样。

远场光波传播的模拟方法

研究自由空间远距离传播问题和透镜问题中，允许对（1.57）进行简化。例如，假设传播距离Δz非常远，则可以近似认为（1.57）中的二次相位因子是平的。具体来说，必须使Δz>2D²/λ，其中D是源平面场最大空间范围，这一近似称为夫琅禾费衍射积分：

夫琅禾费积分可利用FT的形式进行投射

注：夫琅禾费衍射（以约瑟夫·冯·夫琅和费命名），又称远场衍射，是波动衍射的一种，在场波通过圆孔或狭缝时发生，导致观测到的成像大小有所改变，成因是观测点的远场位置，及通过圆孔向外的衍射波有渐趋平面波的性质。

近场光波传播的模拟方法

建立具有高逼真度和一定灵活性的近场光波传播的模拟方法，这比远场传播更加具有挑战性。利用菲涅尔衍射积分从源平面场的已知信息来计算观察面光学场，讨论不同形式的菲涅尔衍射积分。这些不同形式的积分可以采用不同方法进行数值仿真，每种方法都有优点和缺点。

1. 第一种形式来自于积分的指数平方项展开和部分因式分解，这将得到：

对（6.5）的计算有两个方法：

第一种方法（一步传播）是用单个FT对菲涅尔衍射积分进行一次求值，这是最直接的方法。由于运算效能较高，这种方法是可取的。

第二种方法（两步传播）是对菲涅尔积分进行两步求值，这将增加网格间隔的一些灵活性，但以进行第二次FT为代价。

2. 第二种形式是由于注意到该式是源平面场与自由平面振幅拓展函数的卷积，即

可以利用算子符号形式的卷积定理对（6.6）进行改写，有

式子（6.31）成为菲涅尔衍射积分的角频谱形式。