欧拉筛法模板and 洛谷 P3383 【模板】线性筛素数（包括清北的一些方法）

题目描述

如题，给定一个范围N，你需要处理M个某数字是否为质数的询问（每个数字均在范围1-N内）

输入格式

第一行包含两个正整数N、M，分别表示查询的范围和查询的个数。

接下来M行每行包含一个不小于1且不大于N的整数，即询问该数是否为质数。

输出格式

输出包含M行，每行为Yes或No，即依次为每一个询问的结果。

当然这是一道很裸的板子题，但是却牵扯到了一个非常有用的东西：

素数筛法

首先，我们知道素数筛法主要就是以下几种

第一：
无脑筛

其实就是从2到n遍历一遍，没什么可讲的，顶多把n优化成sqrt(N)，所是这种算法的时间复杂度就是O(sqrt(N))不可否定的是，这是已知判断单一数的最快而且是最精准的方法了，绝对不会出错

第二：

Miller-rabin素性测试

如果n为素数，取a<n，设n-1=d*2^r,则要么a^d≡1（mod n）要么存在0<=i<r,使得a^{d*2^t}≡-1(mod n)，要么存在0<=i<r，使得a^{d*2^t}≡-1(mod n)(有可能都满足)

对于任意一个a，如果满足这两个条件，n有可能是质数，但a如果不满足这两个条件中的任何一个，它一定不是质数。找k个a，如果都满足这两个条件，k-1个“更”有可能是质数

在选取k的时候，最好选取2,3,5,7,13,29,37,89至少保证int范围内不会出错

因为筛法的不确定性来自于随机的a，但是当选取的数足够好，就没有问题；

如果n是素数，取a<n,舍n-1=d*2^r,则要么a^d≡1(mod n),要么存在0<=i<r，使得a

部分代码：

int gg[]={,,,,,,,};

long long kuaisumi(long long a,long long b1,long long c)
{
    long long i=a;
    while(b1)
    {
        if(b1&)
        {
            s=(s*i)%c;
        }
        i=(i*i)%c;
        b1>>=;
    }
    return s%c;
}

bool miller_rabin(int a,int n)
{
    int d=n-,r=;
    while(d%==)
        d/=,r++;
    int x=kuaisumi(a,d,n);
    if(x==)return true;
    for(int i=;i<r;i++)
    {
        if(x==n-)return true ;
        x=(long long )x*x%n;
    }
    return false;//可以对照素性测试看
}

bool is_prime (int n)
{
    if(n<=)return false ;
    for(int a=;a<;a++)
        if(n==gg[a])return true;//一个个试
    for(int a=;a<;a++)
        if(!miller_rabin(gg[a],n))return false;
    return true;
}

现在我们讲一下筛某一个范围的数的方法，

第三：

埃拉托色尼筛法（埃氏筛）

主要思想就是把所有质数的整倍数筛掉，速度比较快，也不难想，时间复杂度o（nloglogn）

代码实现：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{  int i,j,k;
    int a[];
    for(i=;i<=;i++)   a[i]=i;
    a[]=;               //先挖掉a[1]  

    for(i=;i<sqrt();i++){
        for(j=i+;j<=;j++){
            if(a[i]!=&&a[j]!=){
                if(a[j]%a[i]==){
                    a[j]=;           //把非素数挖掉,不是素数的都赋值为0
                }
            }
        }
    }
    printf("\n");
    for(i=,k=;i<=;i++){
        if(a[i]!=){              //选出值不为0的数  即素数
            //cout<<" "<<a[i];
            printf("%d ",a[i]);
            k++;
        }  

        if(k==){
            printf("\n");
            k=;
        }
    }
    printf("\n"); 

    return ;
}

还有一个是对埃氏筛的优化，叫做欧拉筛，也叫作线性筛

代码实现：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int tot,n,b[],pri[];//b[i]存的是i是否为质数，0为质数，1为合数；pri[i]存的是第i个质数
inline void shai()
{
　　//b[1]=1;
    for(int i=;i<=n;i++)//从2到n，因为1不是质数可以跳过,当然有的时候可能会用到b[1]，这个时候需要赋特值如上
    {
        if(!b[i])pri[++tot]=i;
        for(int j=;j<=tot&&i*pri[j]<=n;++j)
        {
            b[i*pri[j]]=;
            if(i%pri[j]==)break;//如果i%pri[j]==0,就说明是i的倍数的数一定是某质数的倍数，这个时候就可以把它去掉从而节省时间
        }
    }
}
int main()
{
    cin>>n;
    shai();
    for(int i=;i<=tot;i++)
    {
        cout<<pri[i]<<endl;//这里是输出n以内的质数，如果想判断一个数是否为质数可以看b[i]
    }
}

所有的筛法就讲完了，最后我们贴一下AC代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int tot,n,m,b[],pri[],a[];
inline void shai()
{
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        if(!b[i])pri[++tot]=i;
        for(int j=;j<=tot&&i*pri[j]<=n;++j)
        {
            b[i*pri[j]]=;
            if(i%pri[j]==)break;
        }
    }
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    shai();
    for(int i=;i<=m;i++)
    {
        cin>>a[i];
    }
    for(int i=;i<=m;i++)
    {
        if(a[i]==)
        {
            cout<<"No"<<endl;
        }
        else
        {
        if(b[a[i]]==)
            cout<<"Yes"<<endl;
        else
            cout<<"No"<<endl;
        }
    }
    return ;
}