CF1067E 题解

题意

传送门

给定一棵 \(n\) 个节点的树，每条边有 \(\frac{1}{2}\) 的概率出现，可以得到一个森林，求这个森林邻接矩阵的秩的期望。

\(1\le n\le5\times10^5\)。

题解

此题关键在于一个重要结论：一个森林邻接矩阵的秩等于其最大匹配数 \(\times2\)。下面对其进行证明。

我们先看邻接矩阵的秩等于 \(n\) 的充要条件。由行列式的定义，有

\[\sum\limits_{\pi}(-1)^{\tau(\pi)}\prod\limits_{i=1}^nA_{i,\pi_i}\neq0
\]

若后面的积 \(\neq0\)，则所有点都向另一点连边，且不重复。而森林无环，于是可以得出其存在完美匹配。而一个森林最多存在一个完美匹配，从叶子向上贪心即证。那么充要条件就是存在完美匹配。

再来看秩不等于 \(n\)。由某条奇妙的定理，我们知道对称矩阵的最大子式一定是主子式。那么其就是原图的一个导出子图。最大的存在完美匹配的导出子图，即是原图的最大匹配。于是证毕。

然后就可以算了。由期望的线性性，对每条边求其为匹配的概率，也就是方案数。但由于我们判断匹配的方式是从叶子向上的贪心，这不太好算。换个形式，对每个点求其与儿子匹配的方案数。这就是一个简单的树形 \(\text{DP}\) 了。于是此题得解。