B树-插入
B树系列文章
1. B树-介绍
2. B树-查找
3. B树-插入
4. B树-删除
插入
根据B树的以下两个特性
- 每一个结点最多有m个子结点
- 有k个子结点的非叶子结点拥有 k − 1 个键
可以得出,B树每个结点存放键的数量是有上限的是m-1,因此插入操作可能导致结点“溢出”。
插入操作的重点和难点在于结点“溢出”后的再平衡操作
假设有一棵3阶B树,如下图所示。
通过给这棵3阶B树插入键值53,来分析B树插入键值的过程。
首先,参考查找的步骤,最终定位到53应该插入到Node21结点的最后
但是这是一个3阶B树,每个结点拥有键的最大数量为2,因此插入53会导致Node21"溢出"
由于Node21结点“溢出”,需要对Node21进行拆分,拆分方法如下
- 从该结点的原有键和新的键中选择出中位数,这个中位数作为分隔值
- 小于这一中位数的键放入左边结点,大于这一中位数的键放入右边结点,中位数作为分隔值。
- 分隔值被插入到父结点中,这可能会造成父结点分裂,分裂父结点时可能又会使它的父结点分裂,以此类推。如果没有父结点(这一结点是根结点),就创建一个新的根结点(增加了树的高度)。
下图是对Node21进行拆分的结果,Node21分裂成两个新的结点和分隔值53,53需要插入父结点中
将分隔值插入父结点中,形成Node2结点,原来的Node21结点被拆分为新的Node21和Node22结点
可以看出来,此时Node2结点键的数量达到了阶数,即达到“溢出”条件了
因此,需要继续对Node2进行拆分
对Node2进行拆分,中间值55提升到root结点,原来的Node2结点拆分成Node2和Node3两个新结点
同样的,此时root结点也“溢出”了,需要对root结点进行拆分
对root结点的拆分,最终造成B树高度的增加
对根结点进行拆分,55被提升,需要创建新的根结点存放键55,键值40和70分别构成新的两个儿子结点,分别是Node1和Node12
此时B数重新平衡了。
这里总结下
所有的插入都从根结点开始。要插入一个新的键,首先搜索这棵树找到新键应该被添加到的对应结点。将新键插入到这一结点中的步骤如下:
如果结点拥有的键数量小于最大值,那么有空间容纳新的键。将新键插入到这一结点,且保持结点中键有序。
否则的话这一结点已经满了,将它平均地拆分成两个结点:
从该结点的原有键和新的键中选择出中位数
小于这一中位数的键放入左边结点,大于这一中位数的键放入右边结点,中位数作为分隔值。
分隔值被插入到父结点中,这可能会造成父结点分裂,分裂父结点时可能又会使它的父结点分裂,以此类推。如果没有父结点(这一结点是根结点),就创建一个新的根结点(增加了树的高度)。
这里是插入的代码
/**
* 插入key
* 时间复杂度为O(logn)
**/
func (bTreeNode *BTreeNode) intert(key int, m int) ([]*BTreeNode, int) {
// 找到第一个不比key小的,注意leaf的数量比key数量多1
idx := 0
for idx < bTreeNode.keyNum && key > bTreeNode.keyList[idx] {
idx++
} // BTreeNode已有该key
if idx < bTreeNode.keyNum && bTreeNode.keyList[idx] == key {
return nil, 0
} if bTreeNode.isLeaf { // 叶子结点
// idx及idx后面元素往后移动
if idx < m-1 {
copy(bTreeNode.keyList[idx+1:], bTreeNode.keyList[idx:])
}
bTreeNode.keyList[idx] = key
bTreeNode.keyNum += 1
} else { // 非叶子结点
// 判断结点是否要满了
// 先往上提
children, midKey := bTreeNode.leafList[idx].intert(key, m)
if children != nil {
// idx是midKey的插入位置,idx后面元素往后移动
if idx < m-1 {
copy(bTreeNode.keyList[idx+1:], bTreeNode.keyList[idx:])
copy(bTreeNode.leafList[idx+2:], bTreeNode.leafList[idx+1:])
}
bTreeNode.keyList[idx] = midKey
bTreeNode.leafList[idx] = children[0]
bTreeNode.leafList[idx+1] = children[1]
bTreeNode.keyNum += 1
}
} if bTreeNode.keyNum == m { // 节点key数量超了
// 从中间将该结点一分为2
mid := bTreeNode.keyNum / 2
midKey := bTreeNode.keyList[mid] // 左儿子
leftNode := createNode(m, mid, bTreeNode.isLeaf)
copy(leftNode.keyList, bTreeNode.keyList[:mid])
copy(leftNode.leafList, bTreeNode.leafList[:mid+1]) // 右边儿子
rightNode := createNode(m, m-mid-1, bTreeNode.isLeaf)
copy(rightNode.keyList, bTreeNode.keyList[mid+1:])
copy(rightNode.leafList, bTreeNode.leafList[mid+1:]) return []*BTreeNode{leftNode, rightNode}, midKey
}
return nil, 0
} /** 插入key
* 时间复杂度O(logn)
**/
func (bTree *BTree) Insert(key int) {
children, midKey := bTree.root.intert(key, bTree.m)
if children != nil {
root := createNode(bTree.m, 1, false)
root.keyList[0] = midKey
root.leafList[0] = children[0]
root.leafList[1] = children[1]
bTree.root = root
}
}
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