NOI 2018网络同步赛(游记?)

　　刚中考完那段时间比较无聊，报名了一个同步赛，报完名才发现成绩单是要挂到网上的,而且因为报的早给了一个很靠前的考号...那布星啊，赶紧学点东西，于是在一周内学了网络流，Treap以及一些数论。

　　Day1：

　　作为一个全国的信息学组织，官网竟然卡成这样，按理说OI选手应该学做网站也会简单一点吧...无法接受.jpg。终于还是在9点前拿到了题。浏览一遍题面感觉只有第一题比较可做，T2T3的暴力也不是很难打？

　　归程：https://www.luogu.org/problemnew/show/P4768

　　看到离线完全没有在意，写了一个最短路+BFS，50.本来还有10分可以写树剖，然而觉得写起来比较麻烦以至于没写。事实上离线的做法非常简单，最短路+并查集；关键是这个做法很有启发性，如果会写离线做法就离A题不远了。

　　T2写了next_permutation以及归并排序，期望得分8分，然而交错了题于是爆零。

　　T3写了4分的暴力，没有去重于是爆零。

　　于是Day1得分：50+0+0=50；

　　听有人说Cu线40，真是难以置信。

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　　Day2：

　　因为Day1大爆炸，于是对Day2也没有什么希望。开题：XXX，XXX,多边形。emmmm多边形？计算几何吗？不过本来也没有打算做Day2T3于是愉快的开始看题啦。

　　第一眼感觉T1是个dp，T2网络流，T3...不知道是个什么...

　　仔细看T1，发现了一些奥妙重重的东西。“按照1-n的顺序”，顺序是固定的啊。“选择XXX的剑”，选剑也是固定的？必须一次把龙打死，不可以打好几个回合。那就不是dp了，好像没有什么决策之类的东西。使得x最小，二分！似乎并不满足单调性。

　　$$(a_i-atk_i*x)\%p_i=0$$

　　写出这个式子后仿佛发现了什么...看数据范围，“保证$p_i$是质数”，“lcm”，果然是个数论题目啊，感觉非常可做！

　　首先找一个set维护选哪些剑，然而set的各种操作非常不熟悉，调了好久决定手写一个Treap，此时大约10:00，还有三个半小时，难道连半道题都做不出来吗？

　　$$atk_i*x=a_i(\%p_i)$$

　　写了一个excrt(从网上抄的)解方程，然而似乎并不能解带系数的方程，难道是我把这道题想简单了吗？后来想到把$akt_i$的逆元乘过去就是普通的excrt啦。然而...P不是质数怎么办呢？一开始以为是无解，后来发现似乎并不是这样。可以把式子重新展开：

　　$$atk_i*x-a_i=p_i*y$$

　　可以把这里面的公因数全部除掉。看到这里你可能会觉得非常奇怪，因为除掉公因数的$p_i$有可能还是不是质数啊？逆元有两种求法，快速幂的方法肯定是不行了，但是扩欧还可以抢救一下。

　　Q:如果扩欧还是求不出逆元呢？A:这样就真的无解了。

　　再套用excrt，这道题就做完了。真的完成了吗，其实还没有。

　　这里面有几处乘法是爆longlong的，所以要用快速乘，另外也要注意只要是取模尽量往前提，和乘法合并在一起，比如说赛后改了一个小时的这个地方:

 x=(a[i]-A)/d*x;
　2 t=p[i]/d;
　 x=(x%t+t)%t;

　　如果这样写就会爆longlong，如果把第三行提到第一行边乘边取模就可以了。

　　顺便注意快速乘里面的左移应该写成这样：$a<<1LL$，每个常数都强转成longlong才保险。

　　其实还没有结束呢。对于任意的龙，我们还需要满足一个条件：$atk_i*x>=a_i$,不过这个地方还是比较简单的，因为这是个方程组，套用crt求最小整数的思想，任意解加减所有模数的最小公倍数后还是一个解，所以预处理一下把每条龙砍成非正数血的最小次数后取max，如果最终的答案小于这个值，就不停的加最小公倍数直到满足条件。

　　看起来好像不太难？然而我考试时提交的版本仅有35分，如果数组开到足够大可以有45分。这个AC思路我写了整整一天。也许，这个题对于NOI选手是个签到题？

　　

 // luogu-judger-enable-o2
 # include <cstdio>
 # include <iostream>
 # include <cstdlib>
 # define LL long long
 # define inf (long long)(1e9)

 inline LL min (LL x,LL y) {    if(x>y) return y; return x; }
 inline LL max (LL x,LL y) {    if(x>y) return x; return y; }
 int T,n,m,num;
 const int maxn=;
 LL a[maxn],lcmm,minc,m1,m2,c1,c2;
 LL p[maxn],ans;
 LL g[maxn],x,exx,exy;
 LL atk[maxn];

 LL mu(LL a,LL b,LL p)
 {
     a=(a%p+p)%p;
     b=(b%p+p)%p;
     LL res=;
     while(b)
     {
         if(b&1LL) res=(res+a)%p;
         a=(a+a)%p;
         b>>=1LL;
     }
     return res;
 }

 struct node
 {
     node *ch[];
     LL v;
     int r,s,n;
     int cmp(LL x)
     {
         if(x==v) return -;
         if(x>v) return ;
         return ;
     }
     void in(LL x)
     {
         v=x;
         r=rand();
         s=n=;
         ch[]=ch[]=NULL;
     }
     void update()
     {
         s=n;
         if(ch[]) s+=ch[]->s;
         if(ch[]) s+=ch[]->s;
     }
 }*roo[],pol[maxn<<];

 node *newnode()
 {
     static int cnt=;
     return &pol[cnt++];
 }

 void rotate(node *&n,int d)
 {
     node *k=n->ch[d^];
     n->ch[d^]=k->ch[d];
     k->ch[d]=n;
     n->update();
     k->update();
     n=k;
 }

 void insert(node *&n,LL x)
 {
     if(!n) n=newnode(),n->in(x);
     else
     {
         int d=n->cmp(x);
         if(d==-) ++n->n;
         else
         {
             insert(n->ch[d],x);
             if(n->ch[d]->r > n->r)     rotate(n,d^);
         }
         n->update();
     }
 }

 LL lef(node *&n,LL x)
 {
     if(!n) return -inf;
     if(n->v>x) return lef(n->ch[],x);
     return max(n->v,lef(n->ch[],x));
 }

 LL rig(node *&n,LL x)
 {
     if(!n) return inf;
     if(n->v<=x) return rig(n->ch[],x);
     return min(n->v,rig(n->ch[],x));
 }

 void del(node *&n,LL x)
 {
     if(!n) return ;
     int d=n->cmp(x);
     if(d==-)
     {
         if(n->n>) n->n--;
         else
         {
             if(!n->ch[]) n=n->ch[];
             else if(!n->ch[]) n=n->ch[];
             else
             {
                 int f=(n->ch[]->r < n->ch[]->r?:);
                 rotate(n,f);
                 del(n->ch[f],x);
             }
         }
     }
     else del(n->ch[d],x);
     if(n) n->update();
 }

 LL gcd(LL a,LL b)
 {
     if (!b) return a;
     else return gcd(b,a%b);
 }

 void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
 {
     if (b==)
         x=1LL,y=0LL;
     else
         exgcd(b,a%b,y,x),y-=x*(a/b);
 }

 LL inv(LL v,LL p)
 {
     LL x,y,g;
     exgcd(v,p,x,y);
     g=gcd(x,y);
     if (g>)
         return -;
     return (x%p+p)%p;
 }

 LL lcm (LL a,LL b)
 {
     return a/gcd(a,b)*b;
 }

 LL solve()
 {
     for (int i=;i<=n;i++)
     {
            LL g=gcd(a[i],gcd(atk[i],p[i]));
         atk[i]/=g,p[i]/=g,a[i]/=g;
         LL Inv=inv(atk[i],p[i]);
         if (Inv<)
         return -1LL;
         a[i]=mu(a[i],Inv,p[i]);
     }
     LL M=p[],A=a[],t,d,x,y;
     for(int i=;i<=n;++i)
     {
         d=gcd(M,p[i]);
         exgcd(M,p[i],x,y);
         if((a[i]-A)%d)
             return -1LL;
         t=p[i]/d;
            x=mu((a[i]-A)/d,x,t);
         x=(x%t+t)%t;
            A=(A+mu(M,x,(LL)M/d*p[i]))%((LL)M/d*p[i]);
         M=M/d*p[i];
        }
     A=(A%M+M)%M;
     ans=A;
     while (ans<minc) ans+=(LL)lcmm;
     return ans;
 }

 int main()
 {
     scanf("%d",&T);
     for (num=;num<=T;num++)
     {
         minc=(LL)-;
         scanf("%d%d",&n,&m);
         for (int i=;i<=n;++i)
             scanf("%lld",&a[i]);
         for (int i=;i<=n;++i)
             scanf("%lld",&p[i]);
         for (int i=;i<=n;++i)
             scanf("%lld",&g[i]);
         for (int i=;i<=m;++i)
         {
             scanf("%lld",&x);
             insert(roo[num],x);
         }
         if(n==) lcmm=p[];
         if(n>=) lcmm=lcm(p[],p[]);
         for (int i=;i<=n;++i)
             lcmm=lcm(lcmm,p[i]);
         for (int i=;i<=n;++i)
         {
             atk[i]=lef(roo[num],a[i]);
             if(atk[i]<=) atk[i]=rig(roo[num],(LL)-);
             del(roo[num],atk[i]);
             if(a[i]%atk[i]==) minc=max(minc,a[i]/atk[i]);
             else               minc=max(minc,a[i]/atk[i]+(LL));
             insert(roo[num],g[i]);
         }
         printf("%lld\n",solve());
     }
     return ;
 }

屠龙勇士

　　这里强烈谴责T1的大样例，看起来非常庞大，检验性很强，然而我的35代码也可以过这个大样例。T2，T3其实弄点分不是很困难，但是T1写的太久了，最后就没开这两个题。

　　Day2得分：35+0+0=35；

　　于是这个比赛的得分：100(笔试)+50+35=185...Cu线199，于是就什么都没有啦。

　　实力不够是一个问题，但是还有一个问题就是考试的策略非常不合理。有5道题的正解确实是不会，但是唯一想到正解的题也没有写出高分来。

　　Day1的三道题都有不该丢的分，T1的65分离线其实想到了，但是因为已经写了一部分BFS舍不得扔掉就没写，5分的在线树剖其实也应该写一写(最后还剩很多时间),T2交错程序...,T3要是手出几组数据可能就想到判重的问题了。不过同步赛选手没有拿到大样例表示体验极差。T2有几个点其实相当于提答，但是也没有想到打打表。

　　Day2的T1挂到连暴力分都不如，首先数组只要开的下就尽量往大里开，如果不能保证正解能得分就写几个分段程序稳住分，n=1,m=1,p=1,p是质数的部分分其实都不难写吧。还有一些小一点的数据点其实可以枚举x。这样差不多就有70+了，T2T3连纯暴力都没写，听说2、30分的部分分也不是很难写。于是精神Cu。以后做题就有经验了，不要再犯这种错误啦，也要多学点东西。

　　---shzr