MT【177】三个乘积和

对任意 2 个 1,2,3,4,5,6 的全排列 $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)$ 和 $(b_1,b_2,b_3,b_4,b_5,b_6)$，求$\displaystyle S=\sum_{i=1}^6 ia_ib_i$ 的最小值______

解答:$\displaystyle\sum_{i=1}^6 ia_ib_i \ge6\sqrt[6]{6!}=72\sqrt{5}>160.$
又$162=1*5*5+2*4*4+3*3*3+4*6*1+5*1*6+6*2*2$
且设$ia_ib_i$中最大数为$x(\textbf{容易知道}x\ge30)$,故$\displaystyle\sum_{i=1}^6 ia_ib_i\ge x+5\sqrt[5]{\frac{6!}{x}}\ge 30+60\sqrt[5]{50}>161$ 故最小值162