2018.01.04 bzoj5291: [Bjoi2018]链上二次求和（线段树）

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线段树基础题。

题意：给出一个序列，要求支持区间加，查询序列中所有满足区间长度在[L,R][L,R][L,R]之间的区间的权值之和（区间的权值即区间内所有数的和）。

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想题555分钟，写题202020分钟，调题两小时真TMTMTM好玩

我们令sss表示前缀和，s2s^2s2表示前缀和的前缀和。

首先读完题发现要求的是：

∑i=lr∑j=in(sj−sj−i)\sum_{i=l}^r\sum_{j=i}^{n}(s_j-s_{j-i})∑i=lr​∑j=in​(sj​−sj−i​)

=∑i=lr(sn2−si−12−sl−i2)\sum_{i=l}^r(s^2_n-s^2_{i-1}-s^2_{l-i})∑i=lr​(sn2​−si−12​−sl−i2​)

=(r−l+1)sn2−∑i=l−1r−1si2−∑i=n−rn−lsi2(r-l+1)s^2_n-\sum_{i=l-1}^{r-1}s^2_i-\sum_{i=n-r}^{n-l}s^2_i(r−l+1)sn2​−∑i=l−1r−1​si2​−∑i=n−rn−l​si2​

推到这里发现用线段树维护动态的s2s^2s2数组即可。

考虑区间修改[l,r,v][l,r,v][l,r,v]对于s2s^2s2数组的影响。

1. i&lt;li&lt;li<l，无影响。
2. l≤i≤rl\le i\le rl≤i≤r，那么si2+=v∗1+v∗2+...+v∗(i−l+1)=v(i−l+1)(i−l+2)2=v2i2+v(3−2l)2i+v(1−l)(r−l)2s^2_i+=v*1+v*2+...+v*(i-l+1)=\frac{v(i-l+1)(i-l+2)}2=\frac v2i^2+\frac{v(3-2l)}2i+\frac{v(1-l)(r-l)}2si2​+=v∗1+v∗2+...+v∗(i−l+1)=2v(i−l+1)(i−l+2)​=2v​i2+2v(3−2l)​i+2v(1−l)(r−l)​
3. r&lt;ir&lt;ir<i，那么si2+=v∗1+v∗2+...+v∗(r−l+1)+(i−r)∗v∗(r−l+1)=v(r−l+1)i+v(r−l+1)(−l−r+2)2s^2_i+=v*1+v*2+...+v*(r-l+1)+(i-r)*v*(r-l+1)=v(r-l+1)i+\frac{v(r-l+1)(-l-r+2)}2si2​+=v∗1+v∗2+...+v∗(r−l+1)+(i−r)∗v∗(r−l+1)=v(r−l+1)i+2v(r−l+1)(−l−r+2)​

然后就可以分开更新了。

然而我码完之后常数太大，TLETLETLE了2个小时，然后换了写法才过。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define lc (p<<1)
#define rc (p<<1|1)
#define mid (l+r>>1)
#define ri register int
using namespace std;
inline int read(){
    int ans=0;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))ch=getchar();
    while(isdigit(ch))ans=(ans<<1)+(ans<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    return ans;
}
typedef long long ll;
const ll mod=1e9+7,N=2e5+5,inv=5e8+4;
int n,m;
ll a[N],s1[N],s2[N];
struct Node{ll l1,l2,l3,sum,a,b,c;}T[N<<2];
inline void pushup(int p){T[p].sum=(T[lc].sum+T[rc].sum)%mod;}
inline void pushnow(int p,ll a,ll b,ll c){
	T[p].a+=a,T[p].b+=b,T[p].c+=c,(T[p].sum+=a*T[p].l1+b*T[p].l2+c*T[p].l3)%=mod;
	if(T[p].a>=mod)T[p].a-=mod;
	if(T[p].b>=mod)T[p].b-=mod;
	if(T[p].c>=mod)T[p].c-=mod;
}
inline void pushdown(int p){
	if(!T[p].a&&!T[p].b&&!T[p].c)return;
	pushnow(lc,T[p].a,T[p].b,T[p].c),pushnow(rc,T[p].a,T[p].b,T[p].c);
	T[p].a=T[p].b=T[p].c=0;
}
inline void build(int p,int l,int r){
	T[p].l3=r-l+1,T[p].l2=s1[r]-(l?s1[l-1]:0),T[p].l1=s2[r]-(l?s2[l-1]:0);
	if(l==r){T[p].sum=a[l];return;}
	build(lc,l,mid),build(rc,mid+1,r),pushup(p);
}
inline void update(int p,int l,int r,int ql,int qr,ll a,ll b,ll c){
	if(ql>r||qr<l)return;
	if(ql<=l&&r<=qr)return pushnow(p,a,b,c);
	pushdown(p);
	if(qr<=mid)update(lc,l,mid,ql,qr,a,b,c);
	else if(ql>mid)update(rc,mid+1,r,ql,qr,a,b,c);
	else update(lc,l,mid,ql,mid,a,b,c),update(rc,mid+1,r,mid+1,qr,a,b,c);
	pushup(p);
}
inline ll query(int p,int l,int r,int ql,int qr){
	if(ql>r||qr<l)return 0;
	if(ql<=l&&r<=qr)return T[p].sum;
	pushdown(p);
	if(qr<=mid)return query(lc,l,mid,ql,qr);
	if(ql>mid)return query(rc,mid+1,r,ql,qr);
	return (query(lc,l,mid,ql,mid)+query(rc,mid+1,r,mid+1,qr))%mod;
}
int main(){
	n=read(),m=read();
	for(ri i=1;i<=n;++i)a[i]=(read()+a[i-1])%mod,s1[i]=(s1[i-1]+i)%mod,s2[i]=(s2[i-1]+(ll)i*i%mod)%mod;
	for(ri i=1;i<=n;++i)(a[i]+=a[i-1])%=mod;
	build(1,1,n);
	while(m--){
		int op=read(),l=read(),r=read(),len;
		ll v;
		if(l>r)swap(l,r);
		if(op==1){
			v=read(),len=r-l+1;
			ll a=v*inv%mod,b=v*(3-2*l+mod)%mod*inv%mod,c=v*(l-1)%mod*(l-2)%mod*inv%mod;
			update(1,1,n,l,r,a,b,c);
			if(r==n)continue;
			a=0,b=v*len%mod,c=(((ll)(len+1)*len/2%mod*v-v*len%mod*r)%mod+mod)%mod;
			update(1,1,n,r+1,n,a,b,c);
		}
		else{
			l=max(l,1);
			ll s1=query(1,1,n,n,n)*(r-l+1)%mod,s2=query(1,1,n,max(l-1,1),r-1),s3=query(1,1,n,max(n-r,1),n-l);
			cout<<(s1-s2-s3+mod*3)%mod<<'\n';
		}
	}
}